Página 73 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que el número de horas en un día es 24. Cuando se pida dividir algo en partes iguales, basta con usar la división:

$$\text{Parte} = \frac{\text{Total}}{\text{Número de partes}}$$

Verifica que la división sea exacta para asegurarte de que todas las partes queden del mismo tamaño.

Análisis: Un día tiene 24 horas. Si ese total se reparte en 12 partes iguales, cada parte contendrá la misma cantidad de horas.

Resolución paso a paso:

1. Se parte de la cantidad total de horas en un día: $$24\text{ h}$$.
2. Se divide entre el número de intervalos: $$\frac{24\text{ h}}{12}=2\text{ h}$$.

Conclusión: Cada intervalo tendrá 2 horas.

Observa los círculos en los extremos:

• Círculo relleno → el extremo sí pertenece al intervalo (usa ≤ o ≥).
• Círculo hueco → el extremo no pertenece (usa < o >).

Luego escribe dos desigualdades simultáneas:
$$a<\!x\! (ambos abiertos),
$$a\le x\le b$$ (ambos cerrados), etc.

Análisis: Debemos escribir cada intervalo usando desigualdades con la variable x.

Resolución paso a paso:

1. a) Intervalo cerrado en –3 y abierto en 3: $$-3\le x<3$$.
2. b) Intervalo abierto en –3 y cerrado en 3: $$-3<x\le 3$$.
3. c) Intervalo abierto en ambos extremos: $$-3<x<3$$.
4. d) Intervalo cerrado en ambos extremos: $$-3\le x\le 3$$.

Conclusión: Las expresiones algebraicas son, respectivamente:
a) –3 ≤ x < 3    b) –3 < x ≤ 3    c) –3 < x < 3    d) –3 ≤ x ≤ 3

Pensar en la recta numérica ayuda: una desigualdad selecciona una parte continua (sin huecos) de esa recta. Esa parte continua es justamente lo que se llama intervalo. Observa la correspondencia:

• $$x\ge c$$ → $$[c,\infty)$$
• $$d<x<e$$ → $$(d,e)$$

Reflexiona: ¿qué ocurre con los extremos cuando el signo es ≤ o ≥? Eso determinará si van corchetes [ ] o paréntesis ( ).

Análisis: Una desigualdad describe un conjunto de números que cumplen cierta condición de orden.

Explicación: Cuando escribimos una desigualdad como, por ejemplo, $$a<x\le b$$, estamos indicando todos los números reales situados entre a y b, incluyendo o excluyendo los extremos según el signo de la desigualdad. Ese mismo conjunto puede describirse de forma compacta mediante la notación de intervalo:

$$(a,\,b]$$

Por lo tanto, cada desigualdad (o sistema de desigualdades que delimita un rango) y su intervalo correspondiente representan exactamente los mismos números. Los intervalos simplifican la escritura y la lectura de soluciones.

Guía rápida para determinar el grado:

1. Identifica la variable (generalmente x).
2. Observa el mayor exponente que aparece en esa variable una vez que todas las expresiones estén desarrolladas.
3. Los coeficientes (números, letras como a o b) no afectan el grado; solo importan los exponentes de la variable.

Ejemplo similar: $$5x^{2}+3x-7$$ es grado 2 porque el exponente más alto de x es 2.

Análisis: El grado de un polinomio es el mayor exponente al que está elevada la variable.

Revisión de cada opción:

• Q(x): $$a^{4}b^{4}x^{2}-(a^{3}+b^{3})x+a^{2}b^{2}$$. El término de mayor grado es $$x^{2}$$. Grado 2.
• S(x): $$a(x-1)^{2}-b^{2}(x+1)(x-1)-5$$. Cada factor produce como máximo $$x^{2}$$; tras expandir, el término de mayor exponente sigue siendo $$x^{2}$$. Grado 2.
• P(a), M(b) y O(a) presentan la misma estructura con $$x^{2}$$ como exponente máximo de la variable x. Todos son de grado 2.

Conclusión: Todas las opciones mostradas son polinomios de grado 2, por lo que deben marcarse con una X.