Página 74 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• Busca siempre factores comunes o patrones como diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto.
• Para polinomios de tres variables, compara los coeficientes de cada término con los que resultan al multiplicar dos trinomios propuestos.
• Recuerda que $$(x^{2}-a^{2})=(x+a)(x-a)$$ y que agrupar términos puede revelar un factor común.

Análisis: Se deben factorizar los polinomios de la columna izquierda y luego unirlos con el producto indicado en la columna derecha.

1. Polinomio a) $$15x^{2}-8xy-12y^{2}$$
   • Se busca una pareja de binomios:
   $$15x^{2}-8xy-12y^{2}=(3x+2y)(5x-6y)$$
2. Polinomio b) $$a^{2}x^{2}-25a^{2}$$
   • Factor común $$a^{2}$$ y diferencia de cuadrados:
   $$a^{2}(x^{2}-25)=a^{2}(x+5)(x-5)$$
3. Polinomio c) $$acx+ax+c+1$$
   • Agrupando:
   $$ax(c+1)+1(c+1)=(c+1)(ax+1)$$
4. Polinomio d) $$6x^{2}-5xy-25y^{2}-23xz+20z^{2}-5yz$$ (se observa que los términos corresponden al desarrollo de dos trinomios)
   • Agrupando respecto a x, y, z se llega a:
   $$(3x+5y-4z)(2x-5y-5z)$$

Conclusión / Correspondencias finales

• a) 15x² − 8xy − 12y² ↔ (3x + 2y)(5x − 6y) [Opción 3]
• b) a²x² − 25a² ↔ a²(x + 5)(x − 5) [Opción 1]
• c) acx + ax + c + 1 ↔ (c + 1)(ax + 1) [Opción 4]
• d) 6x² − 5xy − 25y² − 23xz + 20z² − 5yz ↔ (3x + 5y − 4z)(2x − 5y − 5z) [Opción 2]

• Convierte cada número a una aproximación decimal con la misma cantidad de cifras.
• Recuerda que cuanto más a la izquierda esté un número en la recta numérica, menor es.
• Signos clave: > mayor que, < menor que.

Análisis: Se comparan los valores numéricos aproximados de cada par.

1. a) $$e \approx 2.7183$$ y $$\dfrac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.4714$$
   2.7183 > 0.4714
2. b) $$-\dfrac{5\pi}{3}\approx -5.2360$$ y $$\dfrac{3}{\sqrt{2}}\approx 2.1213$$
   -5.2360 < 2.1213
3. c) $$8$$ y $$0^{2}=0$$
   8 > 0
4. d) $$-\dfrac{\sqrt{7}}{3}\approx -0.8819$$ y $$\dfrac{-1.6666\ldots}{\sqrt{2}}\approx -1.1785$$
   -0.8819 > -1.1785

Conclusión:

• a) >
• b) <
• c) >
• d) >

• Identifica la posición decimal a la que debes redondear (décima, centésima, milésima, etc.).
• Observa la cifra que sigue inmediatamente a la posición elegida:
– Si es 0-4, la cifra se mantiene.
– Si es 5-9, la cifra se incrementa en uno.
• Para raíces y potencias fraccionarias usa la calculadora, pero escribe el resultado con suficientes decimales antes de redondear.

1. a) $$\dfrac{67}{60}=1.116\overline{6}$$
   Redondeando a la décima: 1.1
2. b) 0.0872 → milésima (tercer decimal): el cuarto decimal es 2 < 5 ⇒ 0.087
3. c) $$\sqrt{0.05}\approx 0.2236068$$
   Centésima (segundo decimal): el tercer decimal es 3 < 5 ⇒ 0.22
4. d) $$7^{0.25}=\sqrt[4]{7}\approx 1.6266$$
   Décima (primer decimal): el segundo decimal es 2 < 5 ⇒ 1.6

• Racionalizar consiste en eliminar raíces del denominador.
• Para binomios con raíces usa su conjugado:
$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$
• Simplifica raíces antes de multiplicar cuando sea posible ($$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$).
• Después de multiplicar, verifica si el numerador y denominador tienen factores comunes que puedan simplificarse.

1. a) $$\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$
   Paso 1: Multiplico numerador y denominador por el conjugado $$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$
   $$\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$$
   Paso 2: Simplifico el denominador:
   $$5-3=2$$
   Resultado: $$\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$$
2. b) $$\dfrac{\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$$
   Multiplico por el conjugado del denominador:
   $$\dfrac{\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\cdot\dfrac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{9-2}=\dfrac{3\sqrt{2}+2}{7}$$
3. c) $$\dfrac{2}{3-\sqrt{24}}$$
   Primero simplifico $$\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}$$:
   $$\dfrac{2}{3-2\sqrt{6}}$$
   Conjugado: $$3+2\sqrt{6}$$
   $$\dfrac{2}{3-2\sqrt{6}}\cdot\dfrac{3+2\sqrt{6}}{3+2\sqrt{6}}=\dfrac{2(3+2\sqrt{6})}{9-(2\sqrt{6})^{2}}=\dfrac{6+4\sqrt{6}}{9-24}=\dfrac{6+4\sqrt{6}}{-15}$$
   Puedo cambiar el signo:
   $$\boxed{-\dfrac{6+4\sqrt{6}}{15}}$$ o bien $$\boxed{\dfrac{-(6+4\sqrt{6})}{15}}$$