Página 87 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que toda función es una relación, pero no toda relación es función.

• Piensa en un diagrama de flechas: desde cada elemento del dominio sale una sola flecha hacia el codominio.
• Si un elemento del dominio no tiene flecha, o sale más de una flecha, no es función.
• Revisa los conceptos de dominio, codominio y gráfica de flechas para visualizarlo mejor.

Análisis de la pregunta: Se pide describir la condición que deben cumplir dos conjuntos (dominio y codominio) para que exista una función entre ellos.

Resolución paso a paso:

1. Recordamos que una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos $$A \times B$$.
2. Para que esa relación sea una función, debe cumplir una condición esencial: cada elemento del dominio A se relaciona con exactamente un elemento del codominio B.
3. En otras palabras:
   • Existencia: Para todo $$a \in A$$ existe al menos un $$b \in B$$ tal que $$(a,b)$$ pertenece a la relación.
   • Unicidad: Ese elemento $$b$$ es único; no pueden existir dos pares $$(a,b_1)$$ y $$(a,b_2)$$ con $$b_1 \neq b_2$$.

Conclusión / Respuesta final: Los dos conjuntos deben cumplir que a cada elemento del primero (dominio) le corresponda exactamente un elemento del segundo (codominio); es decir, la relación debe ser funcional.

Para cada relación, aplica las tres definiciones:

• Reflexiva: Verifica si todos los pares (x,x) aparecen. Si falta uno, ya no es reflexiva.
• Simétrica: Si localizas un par (a,b) busca su inverso (b,a). Basta encontrar uno que falte para descartar la simetría.
• Transitiva: Elabora encadenamientos: si (a,b) y (b,c) están, comprueba si (a,c) también. Un solo contraejemplo invalida la propiedad.

Consejo: Construye mentalmente o en tu cuaderno una pequeña matriz de adyacencia marcando los pares, así es más fácil detectar las tres propiedades.

Análisis del problema: Se debe revisar cada relación propuesta y decidir, según las definiciones, si es reflexiva, simétrica y/o transitiva.

Definiciones clave:

• Reflexiva (Rfl): $$\forall x \in A,\; (x,x) \in R$$
• Simétrica (Sim): $$(x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R$$
• Transitiva (Tra): $$(x,y),(y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R$$

Resolución paso a paso:

1. "Los números mayores o iguales a x" (relación ≥)
   • Reflexiva: sí ($$x \ge x$$)
   • Simétrica: no (si $$x \ge y$$ no implica $$y \ge x$$)
   • Transitiva: sí (si $$x \ge y$$ y $$y \ge z$$, entonces $$x \ge z$$)
2. "Los números iguales a x" (relación =)
   Reflexiva: sí · Simétrica: sí · Transitiva: sí
3. "Los números menores que x" (relación <)
   Reflexiva: no · Simétrica: no · Transitiva: sí
4. "Estar casado con"
   Reflexiva: no · Simétrica: sí · Transitiva: no
5. R = {(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}
   Reflexiva: sí · Simétrica: sí · Transitiva: sí
6. R = {(2,2),(6,4),(5,6),(6,5),(4,6)}
   Reflexiva: no · Simétrica: sí · Transitiva: no
7. R = {(2,2),(4,4),(5,4),(4,5),(5,5)}
   Reflexiva: no · Simétrica: sí · Transitiva: sí

Conclusión / Respuesta final: