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Página 88 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Conjuntos, relaciones y funciones

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Resolución Página 88 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pregunta Página 88
a) Determino la relación de los conjuntos. A = {7; 0; 3} y B = {1; 5; 2}. R₁ = {(a, b) ∈ A × B / a + b = 6}. Represento esa relación como pares ordenados en el plano cartesiano.

Datos para la resolución:

1. Enumera todos los pares posibles (a, b) tomando el primer número de A y el segundo de B.
2. Sustituye en la expresión $$a + b = 6$$ y comprueba si la igualdad se cumple.
3. Solo los pares que cumplan la igualdad pertenecen a R₁ y se grafican.

Recuerda que la suma es una operación conmutativa, pero aquí el orden del par (a, b) importa para el gráfico.

Explicación

Análisis del problema

Debemos formar todos los pares (a, b) posibles con los elementos de A y B y seleccionar los que cumplan la ecuación $$a + b = 6$$.

Resolución paso a paso

  1. Formamos el producto cartesiano A × B:
    $$(7,1),(7,5),(7,2),(0,1),(0,5),(0,2),(3,1),(3,5),(3,2)$$
  2. Verificamos la condición a + b = 6 en cada par:
    • (7,1): 7 + 1 = 8 → no cumple.
    • (7,5): 7 + 5 = 12 → no cumple.
    • (7,2): 7 + 2 = 9 → no cumple.
    • (0,1): 0 + 1 = 1 → no cumple.
    • (0,5): 0 + 5 = 5 → no cumple.
    • (0,2): 0 + 2 = 2 → no cumple.
    • (3,1): 3 + 1 = 4 → no cumple.
    • (3,5): 3 + 5 = 8 → no cumple.
    • (3,2): 3 + 2 = 5 → no cumple.
  3. Ningún par ordenado satisface la ecuación.

Conclusión/Respuesta final

La relación R₁ es el conjunto vacío: $$R_1 = \varnothing$$. No hay puntos para representar en el plano cartesiano.

Pregunta Página 88
b) Determino la relación de los conjuntos. A = {2; 3} y B = {1; 4; 5}. R₂ = {(a, b) ∈ A × B / b = 1}. Represento esa relación como pares ordenados en el plano cartesiano.

Datos para la resolución:

1. Identifica el producto cartesiano A × B.
2. Aplica la condición b = 1 y descarta los pares cuyo segundo elemento no sea 1.
3. Los pares restantes son los que debes graficar.

Para trazar cada punto, recuerda que la primera coordenada (a) se lee sobre el eje x y la segunda (b) sobre el eje y.

Explicación

Análisis del problema

La relación R₂ exige que el segundo elemento del par (b) sea exactamente 1.

Resolución paso a paso

  1. Producto cartesiano A × B:
    $$(2,1),(2,4),(2,5),(3,1),(3,4),(3,5)$$
  2. Condición: b = 1
    • (2,1): b = 1 → cumple.
    • (2,4): b = 4 → no cumple.
    • (2,5): b = 5 → no cumple.
    • (3,1): b = 1 → cumple.
    • (3,4): b = 4 → no cumple.
    • (3,5): b = 5 → no cumple.
  3. Los pares que satisfacen la condición son:
    $$R_2 = \{(2,1),(3,1)\}$$
  4. Representación gráfica: Marca los puntos (2,1) y (3,1) en el plano cartesiano. Ambos quedan sobre la recta horizontal y = 1.

Conclusión/Respuesta final

La relación R₂ está formada por los pares ordenados $$(2,1)$$ y $$(3,1)$$, que deben ubicarse en el plano en la posición correspondiente.

Contenido Página 88 - Libro de Matemática de Décimo Grado

2. Represento las siguientes relaciones como pares ordenados en el plano cartesiano.

a) Determino la relación de los conjuntos.

$$A = \{7, 0, 3\}$$ y $$B = \{1, 5, 2\}$$

$$R_{1}=\{(a,b)\in A\times B\mid a+b=6\}$$

[Plano cartesiano: cuadrícula para graficar los pares ordenados]

b) Determino la relación de los conjuntos.

$$A = \{2, 3\}$$ y $$B = \{1, 4, 5\}$$

$$R_{2}=\{(a,b)\in A\times B\mid b=1\}$$

[Plano cartesiano: cuadrícula para graficar los pares ordenados]