Página 89 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Para formar la relación:

• Construye el producto cartesiano A × B (todos los pares posibles).
• Aplica la condición indicada (en este caso, $$a \ge b + 1$$).
• Descarta todo par que no cumpla la inecuación.

Análisis del problema:
Se nos pide listar todos los pares (a, b) que forman la relación $$R_3$$, tomando cada a de A y cada b de B de modo que se cumpla la condición $$a \ge b + 1$$.

Resolución paso a paso:

1. Escribimos los elementos de cada conjunto:
   A = {2, 6, 7}
   B = {2, 5, 7}
2. Verificamos la condición para cada posible par (a, b):
   
   • a = 2 ⇒ b debe satisfacer b ≤ 1 (no hay elementos de B ≤ 1) → ningún par.
   • a = 6 ⇒ b ≤ 5 → pares válidos: (6,2) y (6,5).
   • a = 7 ⇒ b ≤ 6 → pares válidos: (7,2) y (7,5).

Conclusión / Respuesta final:
$$R_3 = \{(6,2),\; (6,5),\; (7,2),\; (7,5)\}$$

• Recuerda que el dominio se determina por las restricciones:
  – Denominadores ≠ 0.
  – Radicandos de raíces pares ≥ 0.
  – Logaritmos con argumento > 0, etc.
• El recorrido puede hallarse:
  – Observando la salida de cada par ordenado.
  – Analizando el rango de una expresión (mínimos, máximos, asíntotas).
  – Graficando para confirmar.
• Para funciones racionales, encuentra valores prohibidos en y resolviendo f(x)=k.
  $$f(x)=k \;\Rightarrow\; \text{resuelve para } x$$; si no hay solución para cierto k, ese número no pertenece al recorrido.

Análisis general:
El dominio es el conjunto de valores admitidos por la variable x. El recorrido (o imagen) es el conjunto de valores que puede tomar f(x).

a) Función dada por pares ordenados

Dom = {2, 5, 3, 4, −5}
Rec = {3, 6, −4, 7, 9}

b) f(x) = 3x² + 7

1. Es un polinomio de segundo grado. No tiene restricciones en x → Dom = ℝ.
2. El término 3x² es siempre ≥ 0.
   Mínimo de la expresión cuando x = 0:
   $$f(0)=7$$
   Por ser parábola “abierta hacia arriba” (coeficiente positivo), los valores de f(x) son todos los reales ≥ 7.

Rec = [7, ∞)

c) f(x) = √(2x + 7)

1. Para que la raíz sea real:
   $$2x+7 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -\dfrac{7}{2}$$
   Dom = [−3.5, ∞)
2. Dentro del dominio, el radicando varía de 0 a ∞ ⇒ la raíz cuadrada varía de 0 a ∞.

Rec = [0, ∞)

d) f(x) = (x + 1)/(x − 2)

1. El denominador no puede ser 0:
   x ≠ 2 → Dom = (−∞, 2) ∪ (2, ∞)
2. Para hallar el recorrido buscamos los valores que no puede tomar f(x).
   Planteamos $$(x+1)/(x-2)=k$$ y resolvemos.
   En particular, para saber si existe k = 1:
   $$\frac{x+1}{x-2}=1 \;\Leftrightarrow\; x+1 = x-2 \;\Rightarrow\; 1 = -2$$ (imposible).
   Por tanto y ≠ 1 (la recta y = 1 es la asíntota horizontal).

Rec = (−∞, 1) ∪ (1, ∞)

Reflexiona sobre los conceptos clave vistos en la actividad: relaciones, dominio, recorrido, restricciones de una función, interpretación gráfica. Anota en primera persona lo que ahora comprendes mejor.

Respuesta ejemplo:
He aprendido a determinar el dominio y el recorrido de diferentes tipos de funciones (polinómicas, radicales, racionales y definidas por pares) y a construir relaciones entre conjuntos con condiciones dadas.

Describe los métodos que utilizaste: lectura, discusión con compañeros, uso de la calculadora gráfica, elaboración de tablas de valores, etc.

Respuesta ejemplo:
Lo he aprendido resolviendo ejercicios paso a paso, comparando mis resultados con la gráfica de cada función y revisando los criterios de restricción (raíces, denominadores, asíntotas).

Pensar en aplicaciones concretas: resolución de problemas, verificación de modelos en física o economía, interpretación de datos.

Respuesta ejemplo:
Este aprendizaje me ha servido para identificar correctamente el comportamiento de las funciones y evitar errores comunes al graficarlas o al resolver ecuaciones que implican restricciones.

Relaciona el concepto de dominio/recorrido con futuros temas: optimización, continuidad, derivadas, integrales, o con situaciones cotidianas donde modeles fenómenos con funciones.

Respuesta ejemplo:
Puedo usar estas herramientas en cursos posteriores de cálculo, para determinar intervalos de integración, analizar límites, y en materias como física al revisar movimiento parabólico o trayectorias.