Página 90 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista para resolverlo tú mismo

1. Localiza en cada gráfica el punto más a la izquierda y más a la derecha que aparezca con la curva dibujada. Eso te sugiere el dominio.
2. Ubica el punto más bajo y el más alto de la curva (o nota si la curva sigue subiendo sin límite). Eso te indica el recorrido.
3. Recuerda:
   • Para una raíz cuadrada típica ($$y=\sqrt{x-a}$$) el dominio es $x\ge a$ y el recorrido $y\ge 0$.
   • Para una parábola $$y=a(x-h)^2+k$$ con $a>0$, el vértice $(h,k)$ marca el mínimo del recorrido ($y\ge k$) y el dominio es todo $\mathbb R$.
4. Esquematiza dos óvalos: uno con ejemplos de valores de x (dominio) y otro con ejemplos de y (recorrido). Une cada valor de x con su correspondiente y.

¡Con calma repasa cada eje y usa la cuadricula para leer los valores con precisión!

Análisis del problema

Para cada gráfica debemos determinar:

• El dominio (conjunto de valores de x para los que la función está definida).
• El recorrido o rango (conjunto de valores de y que la función toma).

Posteriormente, elaboramos el diagrama sagital (dos óvalos: uno con los valores del dominio y otro con los del recorrido, unidos por flechas que representen la correspondencia x → y). A continuación se resuelven los dominios y recorridos visibles en las gráficas:

Gráfica (a)

1. Observación: La curva parte del punto $(-1,0)$ y avanza hacia la derecha creciendo lentamente (forma típica de una raíz cuadrada). No se aprecian flechas que indiquen límite hacia la izquierda; sí se observa que continúa indefinidamente hacia la derecha.
2. Dominio: El valor mínimo de x es $-1$. Hacia la derecha la función sigue existiendo.
   $$D_f = \{x \in \mathbb R \; | \; x \ge -1\}$$
3. Recorrido: El valor mínimo de y es $0$ (en $x=-1$). Desde allí los valores de y crecen sin cota superior.
   $$R_f = \{y \in \mathbb R \; | \; y \ge 0\}$$
4. Diagrama sagital: En el óvalo de la izquierda se representan números reales $x\ge -1$; en el de la derecha, números reales $y\ge 0$. Cada flecha muestra la correspondencia $x \mapsto f(x)$.

Gráfica (b)

1. Observación: Se trata de una parábola que abre hacia arriba. El punto más bajo (vértice) se ubica en $(-1,2)$. Se extiende sin límite hacia la izquierda y la derecha.
2. Dominio: No hay restricciones en x.
   $$D_g = \mathbb R$$
3. Recorrido: El valor mínimo de y es $2$; la parábola crece sin cota superior.
   $$R_g = \{y \in \mathbb R \; | \; y \ge 2\}$$
4. Diagrama sagital: Primer óvalo con todos los números reales; segundo óvalo con $y\ge 2$. Flechas desde cada x a su imagen y.

Conclusión final

• Gráfica (a): Dominio $[-1,\infty)$, Recorrido $[0,\infty)$.
• Gráfica (b): Dominio $(-\infty,\infty)$, Recorrido $[2,\infty)$.