Página 92 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Identifica la relación diámetro-radio.
2. Expresa el radio en función de la altura.
3. Sustituye en la fórmula del volumen.
4. Para la gráfica, elige varios valores positivos de h, calcula V y ubica los puntos en el plano (h,V). Recuerda que la curva resultante será creciente y cada punto triplica su altura en el exponente.

Fórmula útil:
$$V = \pi r^{2}h$$

Análisis del problema
Queremos expresar el volumen V de un cilindro en función de su altura h sabiendo que su diámetro d es \(\dfrac{2}{3}h\).

Resolución paso a paso

1. Recordemos la fórmula general del volumen de un cilindro:
   $$V = \pi r^{2}h$$ donde \(r\) es el radio.
2. El diámetro se relaciona con el radio mediante $$d = 2r$$.
3. La condición dada es $$d = \dfrac{2}{3}h$$; por lo tanto:
   $$2r = \dfrac{2}{3}h \;\Rightarrow\; r = \dfrac{1}{3}h$$
4. Sustituimos \(r\) en la fórmula del volumen:
   $$V(h)=\pi\left(\dfrac{h}{3}\right)^{2}h = \pi\dfrac{h^{2}}{9}h = \dfrac{\pi}{9}h^{3}$$

Conclusión / Respuesta final
La función buscada es
$$V(h)=\dfrac{\pi}{9}\,h^{3}$$,
con dominio \(h>0\). Su gráfica es una curva cúbica creciente que pasa por el origen.

1. Dibuja un rectángulo y etiqueta los lados como x y x − 25.
2. La diagonal forma con los lados un triángulo rectángulo.
3. Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la diagonal.
4. Para graficar, elige valores de x mayores o iguales a 25, calcula d y sitúa los puntos.

Fórmula útil:
$$d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

Análisis del problema
Sea x la longitud del lado mayor de un rectángulo. El lado menor mide x − 25. Necesitamos la diagonal d en función de x.

Resolución paso a paso

1. Por el teorema de Pitágoras en un rectángulo:
   $$d^{2}=x^{2}+(x-25)^{2}$$
2. Despejamos d:
   $$d(x)=\sqrt{x^{2}+(x-25)^{2}}$$
3. Dominio lógico: $$x\ge 25$$ (para que el lado menor sea positivo).

Conclusión / Respuesta final
La función es
$$d(x)=\sqrt{2x^{2}-50x+625}$$, con \(x\ge25\). Su gráfica corresponde a la rama superior de una función radical creciente.

1. Cuando los lados están en proporción, multiplícalos por la misma constante k.
2. El volumen es el producto de las tres aristas.
3. Para graficar, selecciona valores positivos de k, calcula V y marca los puntos (k, V). Observarás una curva cúbica.

Análisis del problema
En un prisma rectangular, si las aristas están en razón 2 : 3 : 5, podemos tomar k como constante de proporcionalidad común.

Resolución paso a paso

1. Los lados valen: $$2k,\;3k,\;5k$$.
2. El volumen es
   $$V=2k\,\cdot 3k\,\cdot 5k=30k^{3}$$

Conclusión / Respuesta final
La función buscada es
$$V(k)=30k^{3}$$, con \(k>0\). Su gráfica es una cúbica creciente que pasa por el origen.

1. Traza un plano cartesiano amplio que incluya valores desde x = −2 hasta x = 3 y y = −5 hasta y = 9.
2. Marca cada punto cuidadosamente: el eje horizontal es x, el vertical es y.
3. Revisa que los signos sean correctos: coordenadas con x negativo van a la izquierda, y negativas van abajo.
4. Puedes unir los puntos para ver la tendencia, pero primero asegúrate de que todos estén correctamente colocados.

Análisis del problema
Se nos suministran seis pares ordenados $$(x,y)$$. Debemos ubicarlos en el plano cartesiano y trazar la gráfica.

Resolución paso a paso

1. Lista de puntos:
   
   • (−2, −5)
   • (−1, −1)
   • (0, 1)
   • (1, 5)
   • (2, 7)
   • (3, 9)
2. Dibuja ejes con escala uniforme.
3. Coloca cada punto según sus coordenadas.
4. Observa la tendencia: los puntos no se alinean perfectamente; se forma una curva suave que crece más rápido cerca de x=−2 e x=1, luego se acerca visualmente a una recta para x>1.
5. Une los puntos con trazo suave respetando la tendencia. Si el ejercicio exige solo puntos, basta con marcarlos.

Conclusión / Respuesta final
La gráfica resultante pasa por los seis puntos indicados. No corresponde a una función lineal exacta; es una curva creciente.

1. Recuerda la forma general de una recta:
$$y=mx+b$$, donde m es la pendiente y b el intercepto.
2. Empieza marcando el punto donde la recta corta el eje y (x=0).
3. Usa la pendiente para encontrar más puntos: "sube" 7 y "avanza" 2, o simplifica: sube 3.5 por cada 1.
4. Con dos puntos basta para trazar la recta; agrega un tercero para comprobar.

Análisis del problema
Trazaremos la recta de la función
$$f(x)=\frac{7}{2}x+\frac{9}{8}$$.

Resolución paso a paso

1. Identifica la pendiente y la ordenada al origen.
   
   • Pendiente $$m=\dfrac{7}{2}=3.5$$
   • Intercepto en y: $$b=\dfrac{9}{8}=1.125$$
2. Punto inicial: (0, 1.125).
3. Usa la pendiente para otro punto: subir 3.5 unidades en y por cada 1 unidad en x.
   Por ejemplo:
   
   • x=2 ⇒ $$f(2)=\dfrac{7}{2}(2)+\dfrac{9}{8}=7+1.125=8.125$$
   • x=−2 ⇒ $$f(-2)=-7+1.125=-5.875$$
4. Dibuja los ejes, coloca los puntos (0, 1.125), (2, 8.125), (−2, −5.875).
5. Trazar una línea recta que pase por ellos; extiéndela para cubrir el rango que necesites.

Conclusión / Respuesta final
La gráfica es una línea recta ascendente que corta el eje y en 1.125 y tiene pendiente 3.5.