Página 93 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Características de las funciones
Resolución Página 93 - Libro de Matemática de Décimo Grado
1. Recuerda que una función lineal se representa como $$y=mx+b$$.
2. Si la pendiente m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha.
3. Para hallar la intersección con el eje x, iguala $$y=0$$ y resuelve $$x=-\dfrac{b}{m}$$.
4. Ajusta m y b hasta que ese valor de $$x$$ sea positivo.
5. Dibuja sobre el cuadriculado: marca la intersección en el eje x y otro punto que cumpla la ecuación, luego une los puntos.
Análisis del problema
Se pide una recta (función lineal) que sea creciente (pendiente positiva) y que corte al eje x en un valor positivo.
Resolución paso a paso
- Una función lineal se expresa como $$y=mx+b$$, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
- Para que sea creciente, la pendiente debe ser $$m>0$$.
- La intersección con el eje x ocurre cuando $$y=0$$; sustituyendo:
$$0=m x + b\;\;\Rightarrow\;\;x=-\dfrac{b}{m}$$
Queremos $$x>0$$, lo que implica $$-\dfrac{b}{m}>0\;\Rightarrow\;b<0$$ (porque m es positivo). - Un ejemplo sencillo es tomar $$m=1$$ y $$b=-1$$. Así:
$$y=x-1$$- Pendiente positiva (m=1) → función creciente.
- Intersección con el eje x en $$x=1$$ (positivo).
Conclusión
Una gráfica válida es la recta $$y=x-1$$; cualquier otra recta con m>0 y b<0 también cumple los requisitos.
Reflexiona sobre estas ideas:
- Una recta (no horizontal) corta al eje x exactamente una vez.
- Si conoces un punto de intersección con el eje x, cualquier otra condición relacionada con puntos del mismo eje puede generar contradicción.
- Plantea la ecuación general $$y=mx+b$$; sustituye los datos y verifica si el sistema es coherente.
- Si al resolver el sistema obtienes una única intersección obligada, revisa la coherencia de las condiciones impuestas.
Análisis del problema
Se pide una recta decreciente (pendiente negativa) que pase por el punto (−2, 0) y que además tenga otra intersección con el eje x en un valor positivo.
Resolución paso a paso
- Sea la recta $$y=mx+b$$ con $$m<0$$.
- Como pasa por (−2, 0), se cumple:
$$0=m(-2)+b\;\;\Rightarrow\;\;b=2m$$ - La intersección con el eje x se obtiene con $$y=0$$:
$$0=mx+b\;\;\Rightarrow\;\;x=-\dfrac{b}{m}$$
Sustituyendo $$b=2m$$:
$$x=-\dfrac{2m}{m}=-2$$ - Observamos que la recta obtenida solo corta al eje x en (−2, 0). Por lo tanto, es imposible que la misma recta tenga otra intersección con el eje x en un valor positivo.
Conclusión
No existe una función lineal que, siendo decreciente, pase por (−2, 0) y también cruce el eje x en un punto con abscisa positiva, porque una recta solo puede cortar al eje x una vez. Es probable que haya un error en la consigna o que la intersección solicitada sea con otro eje (por ejemplo, el eje y).
Para completar la tabla sigue estos pasos:
- Dominio: Revisa denominadores; si un valor hace cero al denominador, se excluye.
- Extremos: Calcula $$f'(x)$$ y resuelve $$f'(x)=0$$. Un punto crítico te indicará mínimo o máximo.
• Usa la segunda derivada o un análisis de signos en $$f'(x)$$. - Recorrido: Observa el comportamiento en los extremos del dominio y el valor de cualquier mínimo/máximo real.
- Monotonía: Con los intervalos donde $$f'(x)>0$$ (creciente) o $$f'(x)<0$$ (decreciente) rellena la tabla.
Herramientas útiles:
• Calculadora para la raíz de $$4x^3-3x^2-36=0$$.
• Gráfica de la función para confirmar el mínimo.
Análisis del problema
Debemos determinar dominio, recorrido, extremos y monotónicidad de la función
$$f(x)=2x^2-3x+\dfrac{36}{x}$$
Resolución paso a paso
- Dominio
El término $$\dfrac{36}{x}$$ implica que $$x\neq0$$.
$$D=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$$ - Derivada para extremos y monotónicidad
$$f'(x)=4x-3-\dfrac{36}{x^2}$$
Igualamos a cero para hallar críticos:
$$4x-3-\dfrac{36}{x^2}=0\;\;\Rightarrow\;\;4x^3-3x^2-36=0$$
Resolviendo numéricamente se obtiene una única raíz positiva $$x_c\approx2{.}36$$. - Segundo examen de la derivada o prueba de signos
- Para $$x<0$$, $$f'(x)<0$$ ⇒ función decreciente.
- Para $$0<x<2{.}36$$, $$f'(x)<0$$ ⇒ decreciente.
- Para $$x>2{.}36$$, $$f'(x)>0$$ ⇒ creciente.
- Valor mínimo
El punto crítico es mínimo global (la función tiende a +∞ a ambos extremos).
$$f(2{.}36)≈19{.}31$$ - Recorrido
Dado que el mínimo es ≈19.31 y la función crece sin cota superior: $$R=[19{.}31,\infty)$$
Conclusión / Tabla resultante
- Dominio: (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
- Recorrido: [≈19.31, ∞)
- Mínimo: x≈2.36, f(x)≈19.31 (no hay máximo absoluto)
- Monotonía:
• Decreciente en (−∞, 0) y (0, 2.36]
• Creciente en [2.36, ∞)
Contenido Página 93 - Libro de Matemática de Décimo Grado
7. Grafico una función lineal creciente y una decreciente con las condiciones indicadas.
- Creciente con una de las intersecciones en el eje positivo de las x.
- Decreciente con una intersección en el eje positivo de las x y que pase por el punto (-2, 0).
[Cuadros de cuadrícula para realizar las gráficas]
8. Completo la tabla con las características de la siguiente función.
$$f(x) = 2x^{2} - 3x + \frac{36}{x}$$
| Dominio | |
| Recorrido | |
| Máximo o mínimo | |
| Monotonía | Creciente |
| Decreciente |