Página 93 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Recuerda que una función lineal se representa como $$y=mx+b$$.
2. Si la pendiente m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha.
3. Para hallar la intersección con el eje x, iguala $$y=0$$ y resuelve $$x=-\dfrac{b}{m}$$.
4. Ajusta m y b hasta que ese valor de $$x$$ sea positivo.
5. Dibuja sobre el cuadriculado: marca la intersección en el eje x y otro punto que cumpla la ecuación, luego une los puntos.

Análisis del problema
Se pide una recta (función lineal) que sea creciente (pendiente positiva) y que corte al eje x en un valor positivo.

Resolución paso a paso

1. Una función lineal se expresa como $$y=mx+b$$, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
2. Para que sea creciente, la pendiente debe ser $$m>0$$.
3. La intersección con el eje x ocurre cuando $$y=0$$; sustituyendo:
   $$0=m x + b\;\;\Rightarrow\;\;x=-\dfrac{b}{m}$$
   Queremos $$x>0$$, lo que implica $$-\dfrac{b}{m}>0\;\Rightarrow\;b<0$$ (porque m es positivo).
4. Un ejemplo sencillo es tomar $$m=1$$ y $$b=-1$$. Así:
   $$y=x-1$$
   • Pendiente positiva (m=1) → función creciente.
   • Intersección con el eje x en $$x=1$$ (positivo).

Conclusión
Una gráfica válida es la recta $$y=x-1$$; cualquier otra recta con m>0 y b<0 también cumple los requisitos.

Reflexiona sobre estas ideas:

• Una recta (no horizontal) corta al eje x exactamente una vez.
• Si conoces un punto de intersección con el eje x, cualquier otra condición relacionada con puntos del mismo eje puede generar contradicción.
• Plantea la ecuación general $$y=mx+b$$; sustituye los datos y verifica si el sistema es coherente.
• Si al resolver el sistema obtienes una única intersección obligada, revisa la coherencia de las condiciones impuestas.

Análisis del problema
Se pide una recta decreciente (pendiente negativa) que pase por el punto (−2, 0) y que además tenga otra intersección con el eje x en un valor positivo.

Resolución paso a paso

1. Sea la recta $$y=mx+b$$ con $$m<0$$.
2. Como pasa por (−2, 0), se cumple:
   $$0=m(-2)+b\;\;\Rightarrow\;\;b=2m$$
3. La intersección con el eje x se obtiene con $$y=0$$:
   $$0=mx+b\;\;\Rightarrow\;\;x=-\dfrac{b}{m}$$
   Sustituyendo $$b=2m$$:
   $$x=-\dfrac{2m}{m}=-2$$
4. Observamos que la recta obtenida solo corta al eje x en (−2, 0). Por lo tanto, es imposible que la misma recta tenga otra intersección con el eje x en un valor positivo.

Conclusión
No existe una función lineal que, siendo decreciente, pase por (−2, 0) y también cruce el eje x en un punto con abscisa positiva, porque una recta solo puede cortar al eje x una vez. Es probable que haya un error en la consigna o que la intersección solicitada sea con otro eje (por ejemplo, el eje y).

Para completar la tabla sigue estos pasos:

1. Dominio: Revisa denominadores; si un valor hace cero al denominador, se excluye.
2. Extremos: Calcula $$f'(x)$$ y resuelve $$f'(x)=0$$. Un punto crítico te indicará mínimo o máximo.
   • Usa la segunda derivada o un análisis de signos en $$f'(x)$$.
3. Recorrido: Observa el comportamiento en los extremos del dominio y el valor de cualquier mínimo/máximo real.
4. Monotonía: Con los intervalos donde $$f'(x)>0$$ (creciente) o $$f'(x)<0$$ (decreciente) rellena la tabla.

Herramientas útiles:
• Calculadora para la raíz de $$4x^3-3x^2-36=0$$.
• Gráfica de la función para confirmar el mínimo.

Análisis del problema
Debemos determinar dominio, recorrido, extremos y monotónicidad de la función
$$f(x)=2x^2-3x+\dfrac{36}{x}$$

Resolución paso a paso

1. Dominio
   El término $$\dfrac{36}{x}$$ implica que $$x\neq0$$.
   $$D=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$$
2. Derivada para extremos y monotónicidad
   $$f'(x)=4x-3-\dfrac{36}{x^2}$$
   Igualamos a cero para hallar críticos:
   $$4x-3-\dfrac{36}{x^2}=0\;\;\Rightarrow\;\;4x^3-3x^2-36=0$$
   Resolviendo numéricamente se obtiene una única raíz positiva $$x_c\approx2{.}36$$.
3. Segundo examen de la derivada o prueba de signos
   
   • Para $$x<0$$, $$f'(x)<0$$ ⇒ función decreciente.
   • Para $$0<x<2{.}36$$, $$f'(x)<0$$ ⇒ decreciente.
   • Para $$x>2{.}36$$, $$f'(x)>0$$ ⇒ creciente.
4. Valor mínimo
   El punto crítico es mínimo global (la función tiende a +∞ a ambos extremos).
   $$f(2{.}36)≈19{.}31$$
5. Recorrido
   Dado que el mínimo es ≈19.31 y la función crece sin cota superior: $$R=[19{.}31,\infty)$$

Conclusión / Tabla resultante

• Dominio: (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
• Recorrido: [≈19.31, ∞)
• Mínimo: x≈2.36, f(x)≈19.31 (no hay máximo absoluto)
• Monotonía:
  • Decreciente en (−∞, 0) y (0, 2.36]
  • Creciente en [2.36, ∞)