Página 106 - Libro de Matemática de Octavo Grado

• Recuerda que un radio de la esfera es la distancia desde el centro hasta cualquier punto de la superficie.
• Observa que la línea verde une el centro de la esfera con un punto de su superficie.

Análisis del problema: Se observa que la línea verde va desde el centro de la esfera a un punto en su superficie, por lo que corresponde a un radio de la esfera.

Resolución paso a paso:
1. Definir radio $$r=10\;\text{cm}$$.
2. Reconocer que la distancia del centro a la superficie es igual al radio.
3. Concluir que la longitud de la línea verde es igual a $$r$$.

Respuesta final: La longitud de la línea verde es $$10\;\text{cm}$$.

• Usa el teorema de Pitágoras en tres dimensiones: la distancia de un punto $$(x,y,z)$$ al origen es $$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$.
• Recuerda despejar la arista $$s$$ antes de calcular el volumen.
• La fórmula del volumen del cubo es $$V=s^3$$.

Análisis del problema: El cubo está inscrito en una semiesfera de radio $$R=10\;\text{cm}$$, y sus vértices superiores tocan la superficie de la esfera. Las coordenadas de un vértice respecto al centro (en el plano medio) son $$(s/2,s/2,s/2)$$. La distancia al centro debe ser $$R$$.

Resolución paso a paso:
1. Plantear: $$\sqrt{\Bigl(\frac{s}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{s}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{s}{2}\Bigr)^2}=R$$.
2. Simplificar: $$\sqrt{3\,\frac{s^2}{4}}=R\quad\Rightarrow\quad\frac{s}{2}\sqrt{3}=R$$.
3. Despejar arista: $$s=\frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot10}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}}\;\text{cm}$$.
4. Calcular volumen: $$V=s^3=\Bigl(\frac{20}{\sqrt{3}}\Bigr)^3=\frac{8000}{3\sqrt{3}}\;\text{cm}^3\approx1540\;\text{cm}^3$$.

Respuesta final: El volumen del cubo es $$\frac{8000}{3\sqrt{3}}\;\text{cm}^3\approx1540\;\text{cm}^3$$.

Piensa en situaciones de tu vida o proyectos escolares donde necesites inscribir un cubo dentro de una esfera u otra estructura curva.

He aprendido que la relación entre la arista de un cubo y el radio de la esfera circunscrita puede aplicarse en diversos contextos. Por ejemplo:

• Diseño de cajas o embalajes para ajustar objetos esféricos.
• Modelado 3D para videojuegos o animaciones.
• Arquitectura para calcular estructuras cúbicas dentro de cúpulas.

Reflexiona sobre los conceptos clave que utilizaste y cómo te permiten resolver problemas más complejos en geometría espacial.

Me ha servido para entender cómo se relacionan las medidas en el espacio tridimensional y para reforzar el uso del teorema de Pitágoras extendido a tres dimensiones. Además, me ayuda a ver aplicaciones prácticas al calcular volúmenes y distancias.

Recuerda los pasos: identificar las distancias en cada eje, aplicar $$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ y despejar la incógnita.

He aprendido a través del análisis de la imagen, identificando las dimensiones del cubo dentro de la esfera y aplicando el teorema de Pitágoras en tres ejes. Practiqué escribiendo las ecuaciones y resolviéndolas paso a paso.

Resume en tu cuaderno los conceptos y fórmulas clave sobre esferas y cubos inscritos para consolidar tu aprendizaje.

He aprendido que la distancia desde el centro de una esfera a un vértice de un cubo inscrito se calcula con el teorema de Pitágoras en 3D y que, conociendo el radio de la esfera, puedo determinar la arista y el volumen del cubo.