Página 108 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Piensa en cómo cada proposición simple (p, q) corresponde a un nivel de tensión (alto/bajo) y en cómo las operaciones lógicas se materializan en puertas electrónicas.

Recuerda las equivalencias:

• $$p \land q$$ ↔ puerta AND
• $$p \lor q$$ ↔ puerta OR
• $$\lnot p$$ ↔ puerta NOT

Análisis del problema: Se nos pide establecer la conexión entre dos campos: la lógica proposicional (verdadero/falso) y el funcionamiento de los circuitos electrónicos digitales.

Resolución paso a paso:

1. En lógica proposicional, cada proposición puede tomar dos valores: verdadero (1) o falso (0).
2. En electrónica digital, los circuitos operan con dos niveles de tensión: alto (1) y bajo (0).
3. Las operaciones lógicas (AND, OR, NOT) tienen su equivalente en puertas electrónicas:
• La puerta AND realiza la conjunción: salida 1 sólo si ambas entradas son 1.
• La puerta OR realiza la disyunción: salida 1 si al menos una entrada es 1.
• La puerta NOT invierte el valor lógico.
4. Cada combinación de valores de entrada se corresponde con una fila de la tabla de verdad de la proposición, y el circuito electrónico reproduce esa misma tabla de verdad.

Conclusión: La lógica proposicional proporciona las reglas de verdad; los circuitos electrónicos implementan físicamente esas reglas mediante puertas lógicas que operan con niveles de tensión alto (1) y bajo (0).

Recuerda que la unión incluye todos los elementos presentes en A o en B, y la intersección sólo los que aparecen en ambos.

Análisis del problema: Debemos calcular la unión de A y B, luego intersectarla con C, con los conjuntos dados en el universo U.

Resolución paso a paso:

1. Identificamos los conjuntos (dentro de U):
   
   • A = {0,2,4,5,6,7,8}
   • B = {0,4,5,7,8}
   • C = {0,2}
2. Calculamos la unión:
   $A \cup B = \{0,2,4,5,6,7,8\}$
3. Intersecamos con C:
   $(A \cup B) \cap C = \{0,2\}$

Conclusión/Respuesta final: {(A ∪ B) ∩ C} = {0,2}

Para el complemento usa siempre como referencia el conjunto universal U dado en el enunciado.

Análisis del problema: Primero encontramos A ∩ C, luego su complemento respecto a U, y finalmente la unión con B.

Resolución paso a paso:

1. A ∩ C = {0,2} (porque C ⊂ A).
2. Complemento en U:
   $(A \cap C)^c = U \setminus \{0,2\} = \{4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$
3. Unión con B:
   $(A \cap C)^c \cup B = \{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$

Conclusión/Respuesta final: {(A ∩ C)ᶜ ∪ B} = {0,4,5,6,7,8,9,11,12,24}

Recuerda que si B ⊆ A, entonces B – A = ∅, y cualquier intersección con ∅ es ∅.

Análisis del problema: Calculamos la diferencia A – B y la diferencia B – A, luego su intersección.

Resolución paso a paso:

1. A – B = {0,2,4,5,6,7,8} \ {0,4,5,7,8} = {2,6}
2. B – A = {0,4,5,7,8} \ {0,2,4,5,6,7,8} = ∅
3. Intersección:
   $(A - B) \cap (B - A) = \{2,6\} \cap \varnothing = \varnothing$

Conclusión/Respuesta final: {(A – B) ∩ (B – A)} = ∅

Para la diferencia de conjuntos, quita sólo los elementos que aparecen en el segundo conjunto.

Análisis del problema: Primero hallamos A ∩ B, luego restamos los elementos de C.

Resolución paso a paso:

1. A ∩ B = {0,4,5,7,8}
2. Restamos C = {0,2} (dentro de U):
   $(A \cap B) - C = \{0,4,5,7,8\} \setminus \{0,2\} = \{4,5,7,8\}$

Conclusión/Respuesta final: {(A ∩ B) – C} = {4,5,7,8}