Página 111 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Proposiciones, tablas de verdad y leyes de Morgan
Resolución Página 111 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Pregunta Página 111
Elaboro la tabla de verdad de la proposición (p → q) ∧ (q → r) e identifico si es contingencia, tautología o negación.
Datos para la resolución:
Para elaborar esta tabla de verdad:
- Escribe las 8 combinaciones de p, q y r.
- Recuerda que $$A \to B$$ sólo es falso si A es verdadero y B es falso; en cualquier otro caso es verdadero.
- Evalúa cada implicación por separado y luego la conjunción final.
- Si el resultado final mezcla verdaderos y falsos, es contingencia.
Explicación
Análisis del problema: Se debe construir la tabla de verdad de la expresión lógica $$(p \to q) \land (q \to r)$$ y determinar si su resultado es siempre verdadero (tautología), siempre falso (negación) o mixto (contingencia).
Resolución paso a paso:
1. Listar todas las combinaciones de verdad para p, q y r (8 filas).
2. Calcular $p \to q$: falso sólo cuando p es verdadero y q falso.
3. Calcular $q \to r$ de la misma forma.
4. Obtener la conjunción de ambos resultados.
Tabla de verdad:
p q r | p→q | q→r | (p→q)∧(q→r)
T T T | T | T | T
T T F | T | F | F
T F T | F | T | F
T F F | F | T | F
F T T | T | T | T
F T F | T | F | F
F F T | T | T | T
F F F | T | T | T
Conclusión: Hay filas con valor verdadero y otras con valor falso, por lo que es una contingencia.
Resolución paso a paso:
1. Listar todas las combinaciones de verdad para p, q y r (8 filas).
2. Calcular $p \to q$: falso sólo cuando p es verdadero y q falso.
3. Calcular $q \to r$ de la misma forma.
4. Obtener la conjunción de ambos resultados.
Tabla de verdad:
p q r | p→q | q→r | (p→q)∧(q→r)
T T T | T | T | T
T T F | T | F | F
T F T | F | T | F
T F F | F | T | F
F T T | T | T | T
F T F | T | F | F
F F T | T | T | T
F F F | T | T | T
Conclusión: Hay filas con valor verdadero y otras con valor falso, por lo que es una contingencia.
Pregunta Página 111
Elaboro la tabla de verdad de la proposición ¬r → (p ↔ ¬q) e identifico si es contingencia, tautología o negación.
Datos para la resolución:
Pasos clave:
- Calcula primero ¬r y ¬q para cada fila.
- La bicondicional $$A \leftrightarrow B$$ vale verdadero sólo si A y B tienen el mismo valor.
- Luego aplica la implicación con ¬r como antecedente.
- Si el resultado final no es todo verdadero ni todo falso, es contingencia.
Explicación
Análisis del problema: Construir la tabla de verdad de $$(\neg r) \to (p \leftrightarrow \neg q)$$ y clasificarla.
Resolución paso a paso:
1. Listar las 8 combinaciones de p, q y r.
2. Calcular $\neg r$ y $\neg q$ en cada fila.
3. Evaluar la bicondicional $p \leftrightarrow \neg q$: verdadera cuando ambos valores coinciden, falsa si difieren.
4. Aplicar la implicación $(\neg r) \to (p \leftrightarrow \neg q)$.
Tabla de verdad:
p q r | ¬r | ¬q | p↔¬q | ¬r→(p↔¬q)
T T T | F | F | F | T
T T F | T | F | F | F
T F T | F | T | T | T
T F F | T | T | T | T
F T T | F | F | T | T
F T F | T | F | T | T
F F T | F | T | F | T
F F F | T | T | F | F
Conclusión: Aparecen valores verdaderos y falsos, por lo que es una contingencia.
Resolución paso a paso:
1. Listar las 8 combinaciones de p, q y r.
2. Calcular $\neg r$ y $\neg q$ en cada fila.
3. Evaluar la bicondicional $p \leftrightarrow \neg q$: verdadera cuando ambos valores coinciden, falsa si difieren.
4. Aplicar la implicación $(\neg r) \to (p \leftrightarrow \neg q)$.
Tabla de verdad:
p q r | ¬r | ¬q | p↔¬q | ¬r→(p↔¬q)
T T T | F | F | F | T
T T F | T | F | F | F
T F T | F | T | T | T
T F F | T | T | T | T
F T T | F | F | T | T
F T F | T | F | T | T
F F T | F | T | F | T
F F F | T | T | F | F
Conclusión: Aparecen valores verdaderos y falsos, por lo que es una contingencia.
Pregunta Página 111
Elaboro la tabla de verdad de la proposición ((p ∧ q) ∨ [(¬p ∧ q) ∨ q]) ∧ p e identifico si es contingencia, tautología o negación.
Datos para la resolución:
Consejos:
- Identifica subexpresiones repetidas para simplificar antes de hacer la tabla.
- Recuerda que $$A \land B$$ sólo es verdadero si A y B son verdaderos.
- Con la expresión simplificada a $$p \land q$$, bastan 4 filas en la tabla.
Explicación
Análisis del problema: Se construye la tabla de verdad de $$((p \land q) \lor [(\neg p \land q) \lor q]) \land p$$. Observa que $((p \land q) \lor [(\neg p \land q) \lor q])=q$, por lo que la expresión se simplifica a $$q \land p$$.
Resolución paso a paso:
1. Simplificación: $((p \land q) \lor [(\neg p \land q) \lor q])=q$.
2. La expresión queda $p \land q$.
3. Listar las 4 combinaciones de p y q.
4. Evaluar p∧q.
Tabla de verdad:
p q | p∧q
T T | T
T F | F
F T | F
F F | F
Conclusión: Aparecen valores verdaderos y falsos, por lo que es una contingencia.
Resolución paso a paso:
1. Simplificación: $((p \land q) \lor [(\neg p \land q) \lor q])=q$.
2. La expresión queda $p \land q$.
3. Listar las 4 combinaciones de p y q.
4. Evaluar p∧q.
Tabla de verdad:
p q | p∧q
T T | T
T F | F
F T | F
F F | F
Conclusión: Aparecen valores verdaderos y falsos, por lo que es una contingencia.
Contenido Página 111 - Libro de Matemática de Octavo Grado
4. Elaboro las tablas de verdad de las siguientes proposiciones e identifico las que sean contingencia, tautología o negación.
a)
$$(p \to q) \wedge (q \to r)$$
b)
$$\neg r \to (p \leftrightarrow \neg q)$$
c)
$$((p \wedge q) \vee ((\neg p \wedge q) \vee q)) \wedge p$$