Página 112 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para negar una proposición compuesta en lenguaje natural, recuerda:

• Usar expresiones como “No es cierto que…”, “Es falso que…”, o colocar “no” antes del verbo principal.
• Conservar la idea original pero indicando su falsedad.

Análisis del problema: Debemos negar la proposición completa “Segundo está triste porque vive lejos de su familia”.

Resolución paso a paso:

1. Identificamos la proposición original $$p: \text{Segundo está triste porque vive lejos de su familia}$$.
2. La negación de $$p$$ se indica como $$\neg p$$ y puede expresarse en lenguaje natural de formas distintas.
3. Tres maneras equivalentes de escribir $$\neg p$$ son:
1. No es cierto que Segundo esté triste porque vive lejos de su familia.
2. Es falso que Segundo esté triste porque vive lejos de su familia.
3. Segundo no está triste porque vive lejos de su familia.

Conclusión/Respuesta final: Las tres formas de la negación son las literales (a), (b) y (c) anteriores.

Recuerda:

• Dos interruptores en serie corresponden a la conjunción ($$\wedge$$).
• Dos ramas en paralelo corresponden a la disyunción ($$\lor$$).
• Un interruptor negado se representa con $$\neg$$ delante de la proposición.

Análisis del problema: El circuito muestra dos ramas en paralelo. Cada rama tiene dos interruptores en serie que representan conectores lógicos.

Resolución paso a paso:

1. La rama superior cierra si $$\neg p$$ y $$q$$ están ambos verdaderos: eso es $$\neg p \wedge q$$.
2. La rama inferior cierra si $$p$$ y $$\neg q$$ están ambos verdaderos: eso es $$p \wedge \neg q$$.
3. Como las dos ramas están en paralelo (conector OR), la proposición compuesta es:

$$(\neg p \wedge q) \lor (p \wedge \neg q)$$

Conclusión/Respuesta final: La proposición es $$(\neg p \wedge q) \lor (p \wedge \neg q)$$.

Para simplificar:

• Reconoce patrones comunes como el ó exclusivo ($$\oplus$$).
• Recuerda la equivalencia $$(p \oplus q) \equiv (p \lor q) \wedge \neg(p \wedge q)$$.

Análisis del problema: Partimos de $$(\neg p \wedge q) \lor (p \wedge \neg q)$$ y buscamos una forma más compacta.

Resolución paso a paso:

1. Reconocemos que la expresión es la definición del ó exclusivo (XOR) entre $$p$$ y $$q$$.
2. Podemos escribir directamente:

$$p \oplus q$$

3. Otra forma equivalente, usando operaciones básicas, es:

$$(p \lor q) \wedge \neg(p \wedge q)$$

Conclusión/Respuesta final: La forma más sencilla es $$p \oplus q$$ (o bien $$(p \lor q) \wedge \neg(p \wedge q)$$).