Página 115 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda:

• Para congruencia basta con superponer una figura sobre la otra; si coinciden, son congruentes.
• Para semejanza busca un factor de escala $$k$$: mide un lado de la figura pequeña y el correspondiente de la grande, y calcula $$k=\frac{lado\ grande}{lado\ pequeño}$$.
• Ejemplo similar: dos triángulos con ángulos 30°, 60° y 90° siempre serán semejantes, aunque uno sea más grande.

Análisis del problema: Se pide comparar y distinguir dos conceptos básicos de la geometría: semejanza y congruencia.

Resolución paso a paso:

1. Definimos congruencia: dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Esto implica que todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Además, al superponerlas, coinciden exactamente.
2. Definimos semejanza: dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero pueden diferir en tamaño. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
3. Comparamos los requisitos:
• Congruencia: lados igual­-lados ($$AB = A'B'$$, $$BC = B'C'$$, …) y ángulos iguales.
• Semejanza: razón constante entre lados ($$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k$$) y ángulos iguales.

Conclusión: La congruencia exige igualdad de forma y tamaño (lados y ángulos iguales), mientras que la semejanza sólo exige igualdad de forma y proporción entre sus lados (lados proporcionales y ángulos iguales).

Para encontrar el factor de escala:

• Elige siempre lados correspondientes (mismo vértice inicial y final).
• Mide cada lado contando los cuadros del papel cuadriculado.
• Aplica la fórmula $$k=\frac{lado\ de\ la\ figura\ grande}{lado\ de\ la\ figura\ pequeña}$$.
• Comprueba midiendo otro par de lados; la razón debe ser la misma.

Análisis del problema: Tenemos dos pentágonos semejantes en un cuadriculado. Para hallar el factor de escala ($$k$$), calculamos la razón entre la longitud de un lado de la figura grande y la del lado correspondiente en la figura pequeña.

Resolución paso a paso:

1. Seleccionamos un lado correspondiente. Por ejemplo, el lado ED en la figura pequeña y el lado E'D' en la grande.
2. Contamos las unidades en el cuadriculado:
   - En la figura pequeña, ED = 4 unidades.
   - En la figura grande, E'D' = 12 unidades.
3. Calculamos el factor de escala:
   $$k=\frac{E'D'}{ED}=\frac{12}{4}=3$$

Conclusión: El factor de escala entre la figura grande y la pequeña es 3.

Para dibujar una figura con factor de escala $$k=0.5$$:

• Identifica las coordenadas (o longitudes) de los vértices del pentágono original.
• Calcula las nuevas coordenadas multiplicando por 0,5.
• Marca los puntos en el cuadriculado y únelos con regla.
• Verifica que cada lado sea la mitad del original.

Análisis del problema: Debemos construir un pentágono semejante al dado, pero la mitad de su tamaño ($$k=0.5$$), usando el cuadriculado.

Resolución paso a paso:

1. Obtenemos las coordenadas aproximadas de los vértices del pentágono original (sobre el mismo cuadriculado):
   A(2,4), B(8,12), C(12,4), D(14,0), E(2,0).
2. Multiplicamos cada coordenada por el factor de escala 0,5:
   A'(1,2), B'(4,6), C'(6,2), D'(7,0), E'(1,0).
3. En el papel cuadriculado, ubicamos estos puntos A', B', C', D', E'.
4. Unimos A'–B'–C'–D'–E'–A' con regla para obtener el pentágono semejante.

Conclusión: El nuevo pentágono con vértices A'(1,2), B'(4,6), C'(6,2), D'(7,0) y E'(1,0) es semejante al original con factor 0,5.