Página 126 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Escalas y simetrías

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Resolución Página 126 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Pregunta Página 126
Determino (A ∩ C)ᶜ ∪ B

Datos para la resolución:

Para este tipo de ejercicios:

  • Recuerda que la intersección A∩C son los elementos comunes.
  • El complemento (A∩C)ᶜ se calcula siempre respecto al universo U.
  • Finalmente, la unión con B añade todos los elementos únicos de ambos conjuntos.

Explicación

Análisis: Se dan los conjuntos definidos en el universo $$U=\{0,2,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$, $$A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;x<9\}$$, $$C=\{x\in\mathbb{N}\;|\;1 y $$B=\{0,4,5,7,8\}$$. Debemos hallar primero $A\cap C$, su complemento en $U$ y luego unirlo con $B$.

  1. Determinar $A\cap C$. Dado que $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y $C=\{2,3\}$, entonces $A\cap C=\{2,3\}$. En $U$ solo aparece el 2, pero para la intersección consideramos ambos.
  2. Calcular el complemento: $(A\cap C)^c=U\setminus\{2,3\}=\{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$ (el 3 no estaba en $U$, así que no afecta).
  3. Unir con $B$: $\{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}\cup\{0,4,5,7,8\}=\{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$.

Conclusión: \{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}.

Pregunta Página 126
Elaboro la tabla de verdad de la siguiente proposición e identifico si es una tautología, contradicción o contingencia: ¬r → (p ↔ ¬q)

Datos para la resolución:

Para elaborar tablas de verdad:

  • Ordena las variables de izquierda a derecha: p, q, r.
  • Utiliza columnas intermedias para ¬r, ¬q y p ↔ ¬q.
  • Recuerda que la implicación $$X\to Y$$ solo falla si X es verdadero y Y falso.

Explicación

Análisis: Debemos listar todas las combinaciones de verdad de p, q y r, calcular ¬r, ¬q, la equivalencia p ↔ ¬q y luego la implicación ¬r → (p ↔ ¬q).

  1. Construimos las 8 filas de la tabla con (p, q, r).
  2. Calculamos ¬r y ¬q para cada fila.
  3. Evaluamos p ↔ ¬q: verdadero si p y ¬q tienen igual valor.
  4. Evaluamos la implicación ¬r → (p ↔ ¬q): es falsa solo cuando ¬r es verdadero y (p ↔ ¬q) es falso.

Los resultados de la columna final son: V, F, V, V, V, V, V, F. Como hay algunas verdaderas y otras falsas, la proposición es una contingencia.

Pregunta Página 126
¿Cuál es el área de la región de amarillo?

Datos para la resolución:

Recuerda que el área de un triángulo se calcula con $$\frac{b\cdot h}{2}$$, donde b es la base y h la altura.

Explicación

Análisis: La región amarilla es un triángulo isósceles inscrito en un rectángulo de base 8 cm y altura 5 cm.

Resolución: Usamos la fórmula del área de un triángulo: $$A=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}$$. Sustituyendo:
$$A=\frac{8\times5}{2}=20$$ cm2.

Respuesta final: 20 cm2.

Contenido Página 126 - Libro de Matemática de Octavo Grado

5. Sean los conjuntos

U = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 24}

A = { x ∈ N; x < 9 }

C = { x ∈ N; 1 < x < 4 }

B = {0, 4, 5, 7, 8}

Determino

$$(A \cap C)^c \cup B$$

6. Elaboro la tabla de verdad

Elaboro la tabla de verdad de la siguiente proposición e identifico si es una tautología, contradicción o contingencia.

$$\lnot r \to (p \leftrightarrow \lnot q)$$

[Cuadrícula vacía para tabla de verdad]

7. ¿Cuál es el área de la región de amarillo?

[Diagrama: rectángulo FGHI de 5 cm de altura y 8 cm de base con un triángulo isósceles amarillo inscrito]