Página 125 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para graficar una función dada por una tabla de valores:

• Dibuja ejes cartesianos y marca las escalas adecuadas.
• Ubica cada par (x,y) como un punto en la cuadrícula.
• Revisa que la escala sea uniforme en ambos ejes.
• Si los puntos siguen una tendencia lineal o cuadrática, puedes unirlos suavemente para apreciar la forma de la curva.

Análisis del problema: La función se presenta mediante una tabla de valores que indica pares ordenados (x,y).

Resolución paso a paso:

1. Dibuja dos ejes perpendiculares: eje horizontal (x) y eje vertical (y).
2. Marca en el eje x los valores -2, -1, 0, 1, 2, 3. Marca en el eje y los valores -5, -1, 1, 5, 7, 9.
3. Ubica cada par ordenado: (-2,-5), (-1,-1), (0,1), (1,5), (2,7) y (3,9).
4. Verifica que los puntos estén correctamente posicionados en la cuadrícula.
5. Une los puntos con una línea suave para visualizar la tendencia de la función.

Conclusión/Respuesta final: Se obtiene la gráfica de la función con los puntos indicados conectados de manera continua.

Para analizar características de una función:

• Determina el dominio evitando valores que anulen denominadores.
• Para el recorrido, analiza comportamientos en los extremos y posibles extremos locales.
• Usa la derivada $$f'(x)$$ para hallar puntos críticos y estudiar la monotonía.
• Evalúa la segunda derivada o el signo de $$f'(x)$$ para clasificar mínimos o máximos.

Análisis del problema: Se pide determinar dominio, recorrido, máximo o mínimo y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $$f(x)=2x^2-3x+\frac{36}{x}$$.

Resolución paso a paso:

1. Dominio: La función tiene la variable en el denominador, por lo que x≠0. Dominio: $$(-∞,0)\cup(0,∞)$$.
2. Recorrido: Al analizar la función se observa que tiende a +∞ cuando x→±∞ y a -∞ cuando x→0^+. Además posee un valor mínimo relativo. Por tanto el recorrido es $$(-∞,∞)$$.
3. Máximo o mínimo: Derivando $$f'(x)=4x-3-\frac{36}{x^2}$$ e igualando a cero, se encuentra un único punto crítico: $$x\approx2.36$$ con $$f(2.36)\approx19.32$$, que es un mínimo relativo.
4. Creciente: La función crece para $$(2.36,∞)$$.
5. Decreciente: La función decrece en $$(-∞,0)\cup(0,2.36)$$.

Conclusión/Respuesta final: Se completa la tabla con los valores indicados.

Para aplicar el método de Cramer:

• Define el determinante principal con los coeficientes de las incógnitas.
• Para cada incógnita, reemplaza su columna por el vector de términos independientes y calcula el determinante.
• Divide cada determinante sustituido por el determinante principal para obtener la solución.

Análisis del problema: Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que se resolverá usando la regla de Cramer.

Resolución paso a paso:

1. Cálculo del determinante principal: $$D=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 2 & -3\end{vmatrix}=2(-3)-3(2)=-6-6=-12$$.
2. Cálculo del determinante para x: $$D_x=\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 7 & -3\end{vmatrix}=5(-3)-3(7)=-15-21=-36$$.
3. Cálculo del determinante para y: $$D_y=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 2 & 7\end{vmatrix}=2(7)-5(2)=14-10=4$$.
4. Se obtienen las soluciones:
   $$x=\frac{D_x}{D} = \frac{-36}{-12} = 3, \quad y=\frac{D_y}{D} = \frac{4}{-12} = -\tfrac{1}{3}.$$

Conclusión/Respuesta final: La solución del sistema es $$(x,y)=(3,-\tfrac{1}{3})$$.

Para resolver problemas de medición por diferencia de alturas:

• Asigna variables a cada altura (mesa, gallo, gallina).
• Expresa las mediciones dadas como ecuaciones.
• Usa suma o resta de ecuaciones para eliminar variables y hallar la incógnita buscada.

Análisis del problema: La imagen muestra dos mediciones verticales:

• M1: diferencia de altura entre la cabeza del gallo (sobre la mesa) y la cabeza de la gallina (bajo la mesa) = 170 cm.
• M2: diferencia de altura entre la cabeza de la gallina (sobre la mesa) y la cabeza del gallo (bajo la mesa) = 130 cm.

Si T es la altura de la mesa, R la altura del gallo y H la de la gallina, planteamos:

$$M1=(T+R)-H=170$$

$$M2=(T+H)-R=130$$

Resolución paso a paso:

1. Sumamos las dos ecuaciones:
   $$(T+R)-H + (T+H)-R = 170+130 \implies 2T = 300$$.
2. Despejamos T:
   $$T=\frac{300}{2}=150\ \text{cm}$$.

Conclusión/Respuesta final: La altura de la mesa es 150 cm.