Página 124 - Libro de Matemática de Octavo Grado

• Para el incentro, recuerda que está equidistante de los tres lados: traza bisectrices con compás.

• Para el ortócentro, basta con una escuadra para trazar perpendiculares desde cada vértice.

• Para el baricentro, encuentra los puntos medios de cada lado y une con el vértice opuesto.

Análisis: Identificar tres puntos notables en el triángulo ABC:

• Incentro (I): intersección de las bisectrices de los ángulos internos.
• Ortócentro (H): intersección de las tres alturas.
• Baricentro (G): intersección de las tres medianas.

Resolución paso a paso:

1. Con regla y compás, traza las bisectrices de los ángulos A, B y C hasta su punto común: ese es el incentro I.
2. Desde cada vértice, dibuja la altura (línea perpendicular al lado opuesto). El punto donde se cruzan es el ortócentro H.
3. Une cada vértice con el punto medio del lado opuesto; las tres medianas se intersectan en el baricentro G.

Conclusión: Has localizado correctamente los puntos I, H y G sobre el dibujo.

• Asegúrate de apoyar bien la regla sobre H y G para que la línea sea precisa.

• Si localizaste el circuncentro O, comprueba que quede alineado con H y G.

Análisis: Debemos unir los puntos notables I, H y G con una sola recta.

Resolución paso a paso:

1. Coloca la regla de modo que pase por el ortócentro H y el baricentro G.
2. Dibuja con lápiz una línea ligera y luego repásala con lápiz rojo para resaltar.
3. Verifica que la misma recta pase también muy cerca (o por construcción) del circuncentro O si lo tienes localizado.

Conclusión: Has trazado la recta que une los puntos notables H y G (y también O en la práctica), resaltada en color rojo.

• La línea de Euler es una propiedad clásica: H, G y O siempre son colineales.

Análisis: La recta que une los puntos ortócentro, baricentro y circuncentro es una línea muy conocida en geometría de triángulos.

Resolución paso a paso:

1. Reconoce los tres puntos: ortócentro H, baricentro G y circuncentro O.
2. Observa que están alineados sobre la recta trazada.
3. Recuerda que esa línea se llama línea de Euler.

Conclusión: El nombre de la recta es la línea de Euler.

• Usa la regla para medir con precisión y compara los valores.

• Recuerda la propiedad de la línea de Euler: la distancia del ortocentro al baricentro es el doble de la que va del baricentro al circuncentro.

Análisis: Se pide comparar las longitudes de dos segmentos sobre la línea de Euler: HG y GO.

Resolución paso a paso:

1. Con regla, mide la distancia entre ortocentro H y baricentro G: llamémosla $$HG$$.
2. Mide luego la distancia entre baricentro G y circuncentro O: llamémosla $$GO$$.
3. Compara ambas medidas; encontrarás que
4. $$HG = 2\times GO$$.

Conclusión: En cualquier triángulo, sobre la línea de Euler se cumple la relación $$HG = 2\,GO$$. Sí, esta propiedad es válida para todo triángulo.