Página 130 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda que en un triángulo equilátero todas las alturas coinciden con las medianas y bisectrices. Usa la fórmula $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$, donde a es el lado.

Análisis: Se pide la altura de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Resolución:

1. En un triángulo equilátero, la altura $$h$$ divide al triángulo en dos triángulos rectángulos con cateto $$\frac{a}{2}$$ y hipotenusa $$a$$.
2. Aplicamos el teorema de Pitágoras: $$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$.
3. Sustituimos $$a=5\ \mathrm{cm}$$: $$h^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 5^2$$ → $$h^2 + 6.25 = 25$$ → $$h^2 = 18.75$$.
4. Tomamos raíz cuadrada: $$h = \sqrt{18.75} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33\ \mathrm{cm}$$.

Conclusión: La altura mide $$\frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33\ \mathrm{cm}$$.

Aplica las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:

• $$\sin A=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$
• $$\cos A=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
• $$\tan A=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$

Despeja la incógnita usando la razón correspondiente.

Análisis: Tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 20° y el cateto opuesto a este ángulo mide 8 cm. Debemos hallar la hipotenusa (h), el cateto adyacente (c) y el otro ángulo agudo.

Resolución paso a paso:

1. Denotemos $$A=20^\circ$$, a al cateto opuesto ($$a=8\ \mathrm{cm}$$), h la hipotenusa y c el cateto adyacente.
2. Usamos el seno: $$\sin A=\frac{a}{h}$$ → $$h=\frac{a}{\sin A}=\frac{8}{\sin20^\circ}\approx23.39\ \mathrm{cm}$$.
3. Para el cateto adyacente aplicamos el coseno: $$\cos A=\frac{c}{h}$$ → $$c=h\cos A=23.39\times\cos20^\circ\approx21.97\ \mathrm{cm}$$.
4. El ángulo restante es $$90^\circ-20^\circ=70^\circ$$.

Conclusión: Hipotenusa ≈23.39 cm; cateto adyacente ≈21.97 cm; ángulo restante =70°.