Página 156 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver este tipo de problemas usa la distribución binomial. Recuerda la fórmula:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
y la propiedad de complemento: $$P(X\ge r)=1-\sum_{k=0}^{r-1}P(X=k).$$

Análisis del problema: Se busca la probabilidad de que en 4 hijos haya 2 o más niños. Cada hijo puede ser niño o niña con probabilidad 1/2, y el número de niños sigue una distribución binomial $$X\sim B(n=4,p=0.5)$$.

Resolución paso a paso:

1. Definir variable: $$X$$ = número de niños en 4 hijos.
2. La probabilidad pedida es $$P(X\ge2)$$. Usamos complemento:
   $$P(X\ge2)=1-P(X<2)=1-[P(X=0)+P(X=1)].$$
3. Calcular $$P(X=k)=\binom{4}{k}(0.5)^k(0.5)^{4-k}$$:
4. $$P(X=0)=\binom{4}{0}(0.5)^4=1\times\frac{1}{16}=\frac{1}{16}.$$
5. $$P(X=1)=\binom{4}{1}(0.5)^4=4\times\frac{1}{16}=\frac{4}{16}. $$
6. Entonces:
   $$P(X\ge2)=1-\left(\frac{1}{16}+\frac{4}{16}\right)=1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}.$$

Conclusión: La probabilidad de tener al menos 2 niños es $$\tfrac{11}{16}.$$

Este es otro caso de distribución binomial con $$n=5$$ y $$p=0.5$$. Recuerda calcular $$\binom{n}{k}$$ y usar $$(0.5)^n$$.

Análisis del problema: Se lanzan 5 monedas, cada una independiente con probabilidad de cara o sello igual a 1/2. Queremos exactamente 2 caras (y por tanto 3 sellos).

Resolución paso a paso:

1. Sea $$X$$ el número de caras en 5 lanzamientos: $$X\sim B(n=5,p=0.5).$$
2. La probabilidad buscada es $$P(X=2)=\binom{5}{2}(0.5)^2(0.5)^{3}.$$
3. Calcular coeficiente y potencias:
4. $$\binom{5}{2}=10,\quad (0.5)^5=\frac{1}{32}. $$
5. Por tanto:
   $$P(X=2)=10\times\frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}. $$

Conclusión: La probabilidad de obtener 2 caras y 3 sellos es $$\tfrac{5}{16}.$$

Utiliza la idea de bloques para agrupar los libros de cada asignatura. Primero cuenta las permutaciones de los bloques, luego las de cada libro dentro de su bloque, y divide por $$9!$$.

Análisis del problema: Se busca que los 5 libros de Física formen un bloque contiguo y los 4 de Biología formen otro bloque contiguo al ordenarse aleatoriamente los 9 libros.

Resolución paso a paso:

1. Total de formas de ordenar 9 libros: $$9!$$.
2. Para que cada asignatura esté junta:
   • Tratamos cada grupo como un «bloque»: bloque F (5 libros) y bloque B (4 libros). Hay $$2!$$ formas de ubicar los bloques entre sí.
   • Dentro del bloque de Física hay $$5!$$ permutaciones; dentro del de Biología, $$4!$$.
3. Favorable = $$2!\times5!\times4!$$.
4. La probabilidad es:
   $$P=\frac{2!\,5!\,4!}{9!} = \frac{2\times120\times24}{362880} = \frac{5760}{362880}=\frac{1}{63}. $$

Conclusión: La probabilidad de que los libros de cada asignatura estén juntos es $$\tfrac{1}{63}.$$

Para este tipo de preguntas de posición relativa, observa que cada par de participantes tiene la misma probabilidad de adelantarse mutuamente. Sin calcular factoriales, puedes razonar por simetría.

Análisis del problema: Todas las órdenes de llegada de los 6 corredores son igualmente probables. Nos interesa solo la posición relativa de “3” y “1”.

Resolución paso a paso:

1. Hay $$6!$$ órdenes posibles en total, pero para decidir quién llega primero entre 3 y 1, solo importa el orden entre esos dos.
2. En la mitad de los casos 3 llega antes que 1, y en la otra mitad 1 llega antes que 3, pues no hay sesgo.
3. Por simetría: $$P(3\text{ antes que }1)=\tfrac{1}{2}. $$

Conclusión: La probabilidad de que el corredor 3 llegue antes que el 1 es $$\tfrac{1}{2}.$$