Página 161 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda el Teorema de Pitágoras: $$c^2 = a^2 + b^2$$. Para hallar un cateto despeja $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$ y sustituye los valores conocidos.

Análisis del problema: Tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa $$c=25\,cm$$ y un cateto $$b=16\,cm$$. Buscamos el otro cateto $$a$$.

Resolución paso a paso:

1. Aplicamos el Teorema de Pitágoras: $$c^2 = a^2 + b^2$$.
2. Despejamos $$a^2 = c^2 - b^2 = 25^2 - 16^2 = 625 - 256 = 369$$.
3. Tomamos raíz cuadrada: $$a = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\,\text{cm}$$.

Conclusión: El cateto mide $$3\sqrt{41}\,\text{cm}$$ (aprox. 19.235 cm).

Recuerda que en un triángulo rectángulo la suma de ángulos es 180°, uno de ellos es 90°. Usa las razones trigonométricas: $$\tan(\alpha)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$ y $$\cos(\alpha)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$.

Análisis del problema: Triángulo rectángulo con un ángulo de $$30°$$ y cateto adyacente de $$12\,cm$$. Se pide hallar el otro cateto, la hipotenusa y el tercer ángulo.

Resolución paso a paso:

1. Tercer ángulo: $$90° - 30° = 60°$$.
2. Cateto opuesto al ángulo de 30°: $$b = 12 \tan(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt3}{3} = 4\sqrt3\,\text{cm}$$.
3. Hipotenusa: $$c = \frac{12}{\cos(30°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt3}{2}} = 8\sqrt3\,\text{cm}$$ (o usando Pitágoras: $$\sqrt{12^2 + (4\sqrt3)^2} = 8\sqrt3$$).

Conclusión:

• Ángulo restante: $$60°$$.
• Cateto opuesto: $$4\sqrt3\,\text{cm}$$.
• Hipotenusa: $$8\sqrt3\,\text{cm}$$.

En un triángulo rectángulo usa las relaciones: $$\cos(\alpha)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}},\quad\tan(\alpha)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$ y las fórmulas $$P=a+b+c$$, $$A=\frac{a\,b}{2}$$.

Análisis del problema: El terreno es un triángulo rectángulo con cateto vertical $$b=35\,cm$$ y ángulo entre ese cateto e hipotenusa de $$48°$$. Se piden perímetro y área.

Resolución paso a paso:

1. Hipotenusa: $$c = \frac{b}{\cos(48°)} = \frac{35}{\cos 48°} \approx 52.33\,\text{cm}$$.
2. Cateto horizontal (base): $$a = b \tan(48°) = 35 \tan 48° \approx 38.87\,\text{cm}$$.
3. Perímetro: $$P = a + b + c \approx 38.87 + 35 + 52.33 = 126.20\,\text{cm}$$.
4. Área: $$A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{38.87 \cdot 35}{2} \approx 680.23\,\text{cm}^2$$.

Conclusión: Perímetro ≈ $$126.2\,\text{cm}$$, área ≈ $$680.2\,\text{cm}^2$$.

Aplica el Teorema de Pitágoras y, para ecuaciones de la forma $$x^2+1=kx$$, estudia el discriminante ($$b^2-4ac$$) para determinar si hay raíces reales.

Análisis del problema: Sea $$a$$ y $$b$$ los catetos y $$c$$ la hipotenusa. El Teorema de Pitágoras indica $$c^2 = a^2 + b^2$$ y la condición dada es $$c^2 = \tfrac{6}{4}ab$$. Igualando ambas expresiones:$$a^2 + b^2 = \tfrac{6}{4}ab$$.

Dividiendo por $$ab$$ y definiendo $$x = \tfrac{a}{b}$$ resulta la ecuación $$x^2 - \tfrac{6}{4}x + 1 = 0$$, cuyo discriminante es negativo ($$(\tfrac{6}{4})^2 - 4 < 0$$). No hay soluciones reales.

Conclusión: No existe triángulo rectángulo real con esa propiedad; por tanto, la cotangente del ángulo mayor no se define en ℝ.