Página 162 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Revisa cada valor de la lista de entregas y asigna correctamente su intervalo. Cuenta cuántas veces aparece cada número dentro de ese rango.

Análisis del problema: Se tienen 15 datos de entregas y se deben agrupar en los intervalos (8;10), (10;12) y (12;14) para contar su frecuencia.

Resolución paso a paso:

1. Intervalo (8;10): incluye los valores 8, 9 y 10. Frecuencia: 8 aparece 1 vez, 9 aparece 2 veces y 10 aparece 2 veces. Total f = 1+2+2 = 5.
2. Intervalo (10;12): incluye los valores 11 y 12. Frecuencia: 11 aparece 2 veces y 12 aparece 4 veces. Total f = 2+4 = 6.
3. Intervalo (12;14): incluye los valores 13 y 14. Frecuencia: 13 aparece 1 vez y 14 aparece 3 veces. Total f = 1+3 = 4.
4. Verificación: 5+6+4 = 15 datos en total.

Respuesta final: (8;10): 5, (10;12): 6, (12;14): 4, Total: 15.

Recuerda que el total de ángulos en un círculo es 360° y que cada sector = 360°×(frecuencia/total).

Análisis: Se debe representar los tres intervalos de frecuencias como sectores de un círculo proporcionalmente al número de datos.

Resolución paso a paso:

1. Calcular ángulos de cada sector:
   $$\theta_1=360°\times\frac{5}{15}=120°$$
   $$\theta_2=360°\times\frac{6}{15}=144°$$
   $$\theta_3=360°\times\frac{4}{15}=96°$$
2. Dibujar un círculo y, a partir de un radio, trazar los tres sectores con los ángulos calculados (120°, 144° y 96°).
3. Rotular cada sector con su intervalo y su porcentaje correspondiente: 33,3%, 40% y 26,7%.

Conclusión: La gráfica circular queda con sectores de 120°, 144° y 96°, representando visualmente las proporciones de cada intervalo.

La moda de un conjunto de datos es el valor que tiene la mayor frecuencia. Si un valor está repetido en varias filas, suma sus frecuencias.

Análisis: La moda es el valor de temperatura que ocurre más veces en el mes.

Resolución: El valor 21°C aparece 2+5+3 = 10 días, más que cualquier otra temperatura.

Respuesta final: 21°C.

Usa la fórmula de la media ponderada: $$\overline{x}=\frac{\sum T_i\,N_i}{\sum N_i}$$.

Análisis: Se calcula la media ponderada usando temperaturas y número de días.

Resolución paso a paso:

1. Calcular suma ponderada: 13·3 + 18·2 + 21·(2+5+3) + 17·2 + 23·1 = 39 + 36 + 210 + 34 + 23 = 342.
2. Sumar total de días: 3 + 2 + 2 + 5 + 2 + 3 + 1 = 18.
3. Calcular media: $$\overline{T}=\frac{342}{18}=19°C$$.

Respuesta final: 19°C.

Para mediana en número par de datos, ubica los dos valores centrales y promedia.

Análisis: Con 18 datos ordenados, la mediana es el promedio del 9° y 10° valor.

Resolución: Ordenando: 13 (3 veces), 17 (2 veces), 18 (2 veces), 21 (10 veces), 23 (1 vez). Los puestos 9 y 10 están en 21°C.

Respuesta final: 21°C.

Usa las fórmulas:
$$\text{Rango}=x_{\max}-x_{\min}$$
$$\sigma^2=\frac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n}$$
$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$$.

Análisis: Se tienen 15 datos de edad; se pide rango, varianza y desviación estándar (poblacional).

Resolución paso a paso:

1. Rango: máximo – mínimo = 16 – 12 = 4.
2. Media: $$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{212}{15}\approx14.13$$.
3. Suma de cuadrados de desviaciones: $$\sum(x_i-\overline{x})^2\approx19.73$$.
4. Varianza poblacional: $$\sigma^2=\frac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n}=\frac{19.73}{15}\approx1.32$$.
5. Desviación estándar: $$\sigma=\sqrt{\sigma^2}\approx1.15$$.

Respuesta final: Rango = 4, Varianza ≈ 1.32, Desviación estándar ≈ 1.15.

Para eventos equiprobables: $$P(E)=\frac{\text{nº casos favorables}}{\text{nº casos posibles}}$$.

Análisis: Una moneda tiene dos resultados equiprobables: cara o sello.

Resolución: $$P(\text{cara})=\frac{1}{2}$$.

Respuesta final: 1/2.

Piensa en cada grupo de libros como un solo objeto (bloque) y usa permutaciones: $$\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$$.

Análisis: Se consideran dos bloques: los 5 libros de Matemáticas juntos y los 5 de Historia juntos.

Resolución paso a paso:

1. Total de permutaciones de 10 libros: 10!.
2. Formar dos bloques (Math y Historia). Estos bloques pueden disponerse en 2! formas.
3. Dentro de cada bloque, los 5 libros pueden ordenarse de 5! maneras.
4. Casos favorables: $$2!\times5!\times5!$$.
5. Probabilidad: $$P=\frac{2\times5!\times5!}{10!}=\frac{2\times120\times120}{3628800}=\frac{28800}{3628800}=\frac{1}{126}$$.

Respuesta final: 1/126.

Las variables cualitativas describen cualidades o categorías. Las cuantitativas se miden con números y permiten operaciones aritméticas.

Clasificación de variables: