Página 33 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver este tipo de ejercicios:

• Identifica primero si los triángulos comparten los mismos ángulos; si es así, son semejantes.
• Asigna letras iguales a los lados correspondientes y plantea la proporción $$\frac{lado_1}{lado'_1}=\frac{lado_2}{lado'_2}=\dots$$.
• Comprueba que todas las fracciones sean iguales; si lo son, has encontrado la razón de semejanza.

Tenemos dos pares de triángulos: el par superior con ángulos de 52° y 81°, y el par inferior con longitudes 2, 3, 4 y 4, 6, 8. Hay que demostrar que, en cada par, los triángulos son semejantes, es decir, sus lados correspondientes guardan la misma proporción.

1. Primer par (ángulos 52°–81°):
   – Llamemos a la primera pieza sus lados b y c, y a la pieza numérica sus lados 11 cm y 8 cm.
   – Al compartir los mismos ángulos, los triángulos son semejantes, por lo que:
   $$\frac{c}{8}=\frac{b}{11}$$
   Esta igualdad muestra que los lados guardan la misma razón k: $$c=8k\quad y\quad b=11k$$.
2. Segundo par (longitudes 2–3–4 y 4–6–8):
   – Compruebo las razones de los lados correspondientes:
   $$\frac{4}{2}=2,\quad\frac{6}{3}=2,\quad\frac{8}{4}=2.$$
   – Todas las razones son iguales a 2, luego los triángulos son semejantes con factor de escala 2.

En cada caso los triángulos son semejantes porque sus lados correspondientes mantienen proporciones constantes (k en el primer par y 2 en el segundo).

Para construir un triángulo semejante:

• Elige un factor de escala k (mayor que 0).
• Multiplica cada lado original por k para obtener las nuevas longitudes.
• Dibuja un lado con la nueva medida y, usando transportador, reproduce los ángulos originales.
• Desde los extremos, traza arcos con las longitudes calculadas para cerrar el triángulo.

Se da un triángulo cuyos lados miden a=8 cm, b=12 cm y c=16 cm. Hay que dibujar un triángulo semejante, es decir, con ángulos iguales y lados proporcionales.

1. Elijo un factor de escala k=1/2 para facilitar el dibujo.
2. Calculo las longitudes del triángulo semejante:
   $$a'=8\times\tfrac12=4\ \text{cm},\quad b'=12\times\tfrac12=6\ \text{cm},\quad c'=16\times\tfrac12=8\ \text{cm}.$$
3. Con regla y transportador: dibujo primero un segmento de 4 cm, luego construyo los ángulos correspondientes en sus extremos (usando transportador) y, desde cada extremo, mido los lados de 6 cm y 8 cm para cerrar el triángulo.

El triángulo resultante mide 4 cm, 6 cm y 8 cm, y es semejante al original porque mantiene la misma forma y sus lados son la mitad.