Página 42 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Tipo de variable, medidas de tendencia central y Medidas de dispersión
Resolución Página 42 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Datos para la resolución:
Para resolver este tipo de ejercicios:
- Asegúrate de que los datos estén ordenados de menor a mayor.
- Usa la fórmula de la media: $$\bar X=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$, donde sumas todos los datos y divides por su cantidad.
- Para la mediana, si n es par, promedia los dos valores centrales; si n es impar, toma el valor central directamente.
- La moda es simplemente el valor que aparece con mayor frecuencia.
Explicación
Se cuenta con las estaturas (en cm) de los 10 alumnos más altos del curso: 146, 147, 147, 148, 149, 150, 150, 150, 153 y 153. Debemos calcular la media, la mediana y la moda de este conjunto de datos.
Resolución paso a paso:- Cálculo de la media aritmética:
Aplicamos la fórmula de la media:
$$\bar X = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$
Reemplazando los valores:
$$\bar X = \frac{146 + 147 + 147 + 148 + 149 + 150 + 150 + 150 + 153 + 153}{10} = \frac{1493}{10} = 149.3\text{ cm}$$ - Cálculo de la mediana:
Como el número de datos (10) es par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Los datos están ordenados, los valores centrales son el 5.º y 6.º:
$$M_e = \frac{149 + 150}{2} = 149.5\text{ cm}$$ - Determinación de la moda:
La moda es el valor que más se repite. En el conjunto aparece 150 tres veces, más que cualquier otro valor. Por lo tanto, la moda es 150 cm.
La media es 149.3 cm, la mediana es 149.5 cm y la moda es 150 cm.
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Interpretando datos de mi entorno
Las medidas de tendencia central son la mediana, la moda y la media. Estas medidas indican los valores centrales de un conjunto de datos.
La profesora de educación física ha medido la estatura de los 10 niños y niñas más altas del curso. Los resultados son los siguientes.
[Ilustración: profesora midiendo la estatura de un niño]
| Estatura en centímetros | 146 | 147 | 147 | 148 | 149 | 150 | 150 | 150 | 153 | 153 |
|---|
1. Analizo cómo se determina las medidas de tendencia central para este ejemplo.
Promedio o media
Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada; es la media aritmética o promedio aritmético. Es igual a sumar el valor de todos los datos y dividirlos por el número de datos.
$$X = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{N}$$
En el ejemplo tenemos:
$$\overline{X} = \frac{146 + 147 + 147 + 148 + 149 + 150 + 150 + 150 + 153 + 153}{10} = 149,3\ \text{cm}$$
Es decir, en promedio los niños y niñas miden 149,3 centímetros de estatura.
Mediana
Es la medida de tendencia central que indica el valor de la variable que ocupa la posición central, es decir divide a los datos en partes iguales correspondientes al 50%. Si el número de datos es impar, corresponde al valor del dato que se encuentra en el centro. Si el número de datos es par, el valor corresponde al promedio de los dos valores centrales. En el ejemplo tenemos que el valor 149 y 150 se encuentran en el centro, por lo tanto:
$$Me = \frac{149 + 150}{2} = 149,5\ \text{cm}$$
Moda
Se define como el valor de la variable que más se repite. En el ejemplo, el valor que más veces se repite es el 150. Por lo tanto, la moda son los niños y niñas que miden 150 centímetros de alto.