Página 61 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda que una característica esencial de los números reales es ser densos (entre dos hay siempre otro) y acotados indefinidamente. Piensa en mediciones de la vida cotidiana: longitudes, tiempos, temperaturas, etc.

Análisis del problema: Se pide explicar la propiedad de los números reales de ser ilimitados y dar dos ejemplos naturales.

Resolución paso a paso:

1. Los números reales abarcan todos los números racionales e irracionales y forman una recta continua sin huecos.
2. Al no tener mayor ni menor extremo, entre dos reales siempre existe otro real; por eso no hay inicio ni fin.
3. Ejemplo 1: La medida de longitud en una regla, donde entre 1 cm y 2 cm hay infinitas divisiones decimales.
4. Ejemplo 2: El tiempo transcurrido, pues entre dos instantes siempre hay un instante intermedio.

Conclusión/Respuesta final: Los reales no tienen principio ni fin porque son continuos y densos, y ejemplos en la naturaleza son la longitud de un objeto (divisiones infinitas) y el tiempo entre dos eventos.

Para representar cada número, primero conviértelo a decimal aproximado. Luego ubícalo entre los enteros más cercanos en la recta. Usa una regla graduada y marca cada valor en proporción.

Análisis del problema: Hay que localizar cada número en la recta según su valor decimal aproximado.

Resolución paso a paso:

1. Calcular aproximaciones:
• $$-\sqrt7\approx -2{,}646$$
• $$0{,}25=0{,}25$$
• $$\frac{2}{3}\approx0{,}667$$
• $$\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$$
• $$0{,}666\dots=0{,}666\dots$$
• $$-\frac{3}{8}=-0{,}375$$
• $$\sqrt5\approx2{,}236$$
• $$-\sqrt[3]{\tfrac{3}{4}}\approx -0{,}908$$
2. Ordenar e indicar en la recta:
• Parte a) de izquierda a derecha: $$-2{,}646$$, $$0$$, $$0{,}25$$, $$0{,}667$$, $$0{,}707$$.
• Parte b) de izquierda a derecha: $$-0{,}908$$, $$-0{,}375$$, $$0{,}666\dots$$, $$2{,}236$$.

Conclusión/Respuesta final: Cada número se coloca en su aproximación decimal en la recta: parte (a) y parte (b) según el orden descrito.

Calcula primero $$\sqrt7$$ y $$\sqrt{10}$$ en forma decimal. Luego elige fracciones cuya división esté dentro de ese intervalo, por ejemplo $$\frac{m}{n}$$ con m y n pequeños.

Análisis del problema: Se pide encontrar tres fracciones cuyo valor decimal esté entre $$\sqrt7\approx2{,}646$$ y $$\sqrt{10}\approx3{,}162$$.

Resolución paso a paso:

1. Elegimos fracciones fáciles de calcular dentro del rango:
• $$\frac{8}{3}\approx2{,}667$$
• $$\frac{17}{6}\approx2{,}833$$
• $$\frac{31}{10}=3{,}1$$
2. Verificamos que cumplen:
• $$2{,}646<2{,}667<3{,}162$$
• $$2{,}646<2{,}833<3{,}162$$
• $$2{,}646<3{,}1<3{,}162$$

Conclusión/Respuesta final: Tres fracciones posibles son $$\frac{8}{3},\ \frac{17}{6},\ \frac{31}{10}$$.

Convierte $$-\sqrt3$$ a decimal y busca fracciones negativas entre ese valor y -2. Puedes probar divisiones con denominadores pequeños.

Análisis del problema: Debemos hallar tres fracciones con valor decimal entre $$-2$$ y $$-\sqrt3\approx-1{,}732$$.

Resolución paso a paso:

1. Seleccionamos fracciones en el rango:
• $$-\frac{11}{6}\approx-1{,}833$$
• $$-\frac{9}{5}=-1{,}8$$
• $$-\frac{7}{4}=-1{,}75$$
2. Verificamos que cumplen:
• $$-2< -1{,}833< -1{,}732$$
• $$-2< -1{,}8< -1{,}732$$
• $$-2< -1{,}75< -1{,}732$$

Conclusión/Respuesta final: Tres fracciones posibles son $$-\tfrac{11}{6},\ -\tfrac{9}{5},\ -\tfrac{7}{4}$$.

Recuerda realizar las operaciones entre paréntesis primero, llevar todo a un denominador común y simplificar antes de multiplicar.

Análisis del problema: Es una multiplicación de dos expresiones entre paréntesis.

Resolución paso a paso:

1. Calcular el primer paréntesis:

$$\frac{1}{4}-\frac{2}{5}=\frac{5}{20}-\frac{8}{20}= -\frac{3}{20}$$

2. Calcular el segundo paréntesis:

$$\frac{1}{3}+2=\frac{1}{3}+\frac{6}{3}=\frac{7}{3}$$

3. Multiplicar los resultados:

$$-\frac{3}{20}\cdot\frac{7}{3}= -\frac{21}{60}= -\frac{7}{20}$$

Conclusión/Respuesta final: El resultado de la operación es $$-\tfrac{7}{20}$$.

Aplica la jerarquía de operaciones: primero paréntesis, luego multiplicaciones, y finalmente suma/resta. Convierte a fracciones con mismo denominador para sumar o restar.

Análisis del problema: Es una combinación de suma, multiplicación y resta con paréntesis.

Resolución paso a paso:

1. Calcular 1/5 · 3/4:

$$\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$$

2. Calcular (8 - 1)/4:

$$\frac{8-1}{4}=\frac{7}{4}$$

3. Multiplicar por 3:

$$3\cdot\frac{7}{4}=\frac{21}{4}$$

4. Sumar y restar en orden:

$$1+\frac{3}{20}=\frac{20}{20}+\frac{3}{20}=\frac{23}{20}$$

$$\frac{23}{20}-\frac{21}{4}=\frac{23}{20}-\frac{105}{20}= -\frac{82}{20}= -\frac{41}{10}$$

Conclusión/Respuesta final: El resultado de la operación es $$-\tfrac{41}{10}$$.

Resuelve primero cada división de fracciones transformándolas en multiplicaciones por recíproco. Sigue con paréntesis y finalmente combina términos con igual denominador.

Análisis del problema: Incluye divisiones entre fracciones, paréntesis y varias operaciones.

Resolución paso a paso:

1. Calcular el interior del paréntesis:
• $$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$
• $$\frac{4}{5}\div\frac{1}{4}=\frac{4}{5}\cdot4=\frac{16}{5}$$
• Sumar y restar dentro de [ ]:

$$3 - \frac{16}{5} + 2=5 - \frac{16}{5}=\frac{25}{5}-\frac{16}{5}=\frac{9}{5}$$

2. Multiplicar por 1/3:

$$\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$$

3. Calcular siguientes divisiones:
• $$\frac{2}{5}\div3=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{15}$$
• El término -1/4 queda igual.
4. Realizar la resta final:

$$\frac{3}{5}-\frac{2}{15}-\frac{1}{4}$$

Denominador común 60:

$$\frac{3}{5}=\frac{36}{60},\quad\frac{2}{15}=\frac{8}{60},\quad\frac{1}{4}=\frac{15}{60}$$

$$\frac{36}{60}-\frac{8}{60}-\frac{15}{60}=\frac{13}{60}$$

Conclusión/Respuesta final: El resultado de la operación es $$\tfrac{13}{60}$$.