Página 72 - Libro de Matemática de Octavo Grado

• Para inecuaciones lineales, al sumar o restar un mismo número en ambos lados la desigualdad no cambia de sentido.
• Al multiplicar o dividir por un número positivo tampoco cambia el sentido; si fuera negativo, invertiría la desigualdad.
• En inecuaciones con fracciones, elimina denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo (siempre que sea positivo).
• Para la parte d), identifica primero el dominio de la expresión racional (x≠0) antes de simplificar.

Parte a)

Análisis: Es una inecuación lineal. Se pasa todo a un lado y se aísla x.

1. Expandir el lado derecho:
   $$8x+4>-7(x+3)-8$$
   $$8x+4>-7x-21-8$$
   $$8x+4>-7x-29$$
2. Sumar 7x en ambos lados:
   $$8x+7x+4>-29$$
   $$15x+4>-29$$
3. Restar 4 de ambos lados:
   $$15x>-29-4$$
   $$15x>-33$$
4. Dividir por 15 (positivo):
   $$x>-\frac{33}{15}=-\frac{11}{5}$$

Respuesta final: $$(-\frac{11}{5},\mathrm{\infty })$$

Parte b)

Análisis: Está en forma lineal con fracciones. Eliminamos denominadores multiplicando por 20.

1. Multiplicar toda la desigualdad por 20 (>0):
   $$20(x+\frac{5}{4})<20\cdot \frac{4(1-x)}{5}$$
   $$20x+25<4(4-4x)$$
   $$20x+25<16-16x$$
2. Sumar 16x:
   $$20x+16x+25<16$$
   $$36x+25<16$$
3. Restar 25:
   $$36x<16-25$$
   $$36x<-9$$
4. Dividir por 36 (positivo):
   $$x<-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}$$

Respuesta final: $$(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{4})$$

Parte c)

Análisis: Inecuación lineal con término x en ambos lados y fracciones. Se pasan términos y se aísla x.

1. Restar x y 6 de ambos lados:
   $$x-\frac{1}{2}-6-\frac{7x}{9}<0$$
   Combinar:
   $$x-\frac{7x}{9}-\frac{1}{2}-6<0$$
   $$\frac{9x-7x}{9}-\frac{1}{2}-6<0$$
   $$\frac{2x}{9}-\frac{13}{2}<0$$
2. Sumar 13/2:
   $$\frac{2x}{9}<\frac{13}{2}$$
3. Multiplicar por 9/2 (>0):
   $$x<\frac{13}{2}\cdot \frac{9}{2}=\frac{117}{4}$$

Respuesta final: $$(-\mathrm{\infty },\frac{117}{4})$$

Parte d)

Análisis: La expresión del lado izquierdo se anula al restar términos iguales; queda una inecuación racional.

1. Simplificar LHS:
   $$\frac{x+3}{x}-\frac{x+3}{x}=0$$
2. La desigualdad es $$0\ge \frac{4x}{3}$$, es decir $$\frac{4x}{3}\le 0$$.
3. Multiplicar por 3/4 (>0):
   $$x\le 0$$
4. Considerar dominio: x≠0 (denominador original), por lo que la solución es x<0.

Respuesta final: $$(-\mathrm{\infty },0)$$