Página 72 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Parte a)

Análisis: Es una inecuación lineal. Se pasa todo a un lado y se aísla x.

1. Expandir el lado derecho:
   $$8x + 4 > -7(x+3) - 8$$
   $$8x + 4 > -7x - 21 - 8$$
   $$8x + 4 > -7x - 29$$
2. Sumar 7x en ambos lados:
   $$8x + 7x + 4 > -29$$
   $$15x + 4 > -29$$
3. Restar 4 de ambos lados:
   $$15x > -29 - 4$$
   $$15x > -33$$
4. Dividir por 15 (positivo):
   $$x > -\frac{33}{15} = -\frac{11}{5}$$

Respuesta final: $$(-\tfrac{11}{5},\,\infty)$$

Parte b)

Análisis: Está en forma lineal con fracciones. Eliminamos denominadores multiplicando por 20.

1. Multiplicar toda la desigualdad por 20 (>0):
   $$20\bigl(x + \tfrac{5}{4}\bigr) < 20\cdot\frac{4(1-x)}{5}$$
   $$20x + 25 < 4\,(4-4x)$$
   $$20x + 25 < 16 - 16x$$
2. Sumar 16x:
   $$20x + 16x + 25 < 16$$
   $$36x + 25 < 16$$
3. Restar 25:
   $$36x < 16 - 25$$
   $$36x < -9$$
4. Dividir por 36 (positivo):
   $$x < -\frac{9}{36} = -\frac{1}{4}$$

Respuesta final: $$(-\infty,\,-\tfrac{1}{4})$$

Parte c)

Análisis: Inecuación lineal con término x en ambos lados y fracciones. Se pasan términos y se aísla x.

1. Restar x y 6 de ambos lados:
   $$x - \tfrac12 - 6 - \frac{7x}{9} < 0$$
   Combinar:
   $$x - \frac{7x}{9} - \frac{1}{2} - 6 < 0$$
   $$\frac{9x-7x}{9} - \frac{1}{2} - 6 < 0$$
   $$\frac{2x}{9} - \frac{13}{2} < 0$$
2. Sumar 13/2:
   $$\frac{2x}{9} < \frac{13}{2}$$
3. Multiplicar por 9/2 (>0):
   $$x < \frac{13}{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{117}{4}$$

Respuesta final: $$(-\infty,\,\tfrac{117}{4})$$

Parte d)

Análisis: La expresión del lado izquierdo se anula al restar términos iguales; queda una inecuación racional.

1. Simplificar LHS:
   $$\frac{x+3}{x} - \frac{x+3}{x} = 0$$
2. La desigualdad es $$0 \ge \frac{4x}{3}$$, es decir $$\frac{4x}{3} \le 0$$.
3. Multiplicar por 3/4 (>0):
   $$x \le 0$$
4. Considerar dominio: x≠0 (denominador original), por lo que la solución es x<0.

Respuesta final: $$(-\infty,\,0)$$