Página 77 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Productos notables, Factoreo, Racionalización
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Para completar el cuadrado, recuerda que al factorizar x² + mx + n como (x + p)(x + q), los valores p y q satisfacen p + q = coeficiente de x y p·q = término independiente.
Paso 1: Expandimos (x + 2)(x + b):
$$(x + 2)(x + b) = x^2 + (2 + b)x + 2b$$
Paso 2: Igualamos los coeficientes al trinomio x² + mx + 8:
– El término independiente 2b debe ser 8 → 2b = 8 → b = 4.
– El coeficiente de x es (2 + b) = 2 + 4 = 6, por lo que m = 6.
Conclusión: Los espacios se completan con 6x y 4.
Para un trinomio x² + bx + c que se factoriza en (x + p)(x + q), se cumple p + q = b y p·q = c.
Paso 1: Expandimos (x + a)(x + 9):
$$(x + a)(x + 9) = x^2 + (a + 9)x + 9a$$
Paso 2: Identificamos que el coeficiente de x es 10, luego a + 9 = 10 → a = 1. El término independiente 9a = 9·1 = 9. Por tanto, el término cuadrático es x².
Conclusión: Los espacios se completan con x² y 1.
Un cuadrado perfecto (p + q)² = p² + 2pq + q². Aquí q = 5, así que 2p·5 = 10p.
Paso 1: Identificamos p = mn → p² = m²n².
Paso 2: El término cruzado debe ser 10·mn = 10mn.
Conclusión: Los espacios se completan con 10mn y mn.
Recuerda que al desarrollar (an – b)² obtienes a²n² – 2ab·n + b².
Paso 1: Igualamos el término de n²: 49n² → primer espacio = 49n².
Paso 2: El término lineal ya es –14n, coincide para k = 1.
Paso 3: El término independiente k² = 1² = 1 → tercer espacio = 1.
Paso 4: El valor en el binomio es k = 1.
Conclusión: Los espacios se completan con 49n², 1 y 1.
Para factorizar (u)² + bu + c, encuentra dos números que sumen b y multipliquen c, y escribe (u + p)(u + q).
Paso 1: Buscamos dos números que sumen –8 y cuyo producto sea 15: –3 y –5.
Paso 2: Factorizamos:
$$(an)^2 - 8(an) + 15 = (an - 3)(an - 5)$$
Conclusión: Las dimensiones de la pared son (an – 3) metros y (an – 5) metros.
Multiplica los valores de a y n antes de restar.
Paso 1: an – 3 = (5·2) – 3 = 10 – 3 = 7 m.
Paso 2: an – 5 = 10 – 5 = 5 m.
Conclusión: Las dimensiones son 7 m y 5 m.
Modelo: Costo = (área total / cobertura por galón) × precio del galón.
Paso 1: Número de galones necesarios = Área / 3 = \(\frac{(an - 3)(an - 5)}{3}\).
Paso 2: Costo total = (Número de galones) · 3.5 = \[3.5\cdot\frac{(an - 3)(an - 5)}{3}\].
Conclusión: La expresión es $$C(a,n)=3.5\cdot\frac{(an - 3)(an - 5)}{3}$$.
Para polinomios de grado 3 prueba raíces enteras que dividan al término independiente y luego factoriza el cuadrático resultante.
Paso 1: Evaluamos en x = 1 → 1 – 6 + 11 – 6 = 0, por tanto (x – 1) es factor.
Paso 2: Dividimos polinomio entre (x – 1) para obtener x² – 5x + 6.
Paso 3: Factorizamos x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Conclusión: La factorización completa es $$(x - 1)(x - 2)(x - 3)$$.
Recuerda que las longitudes deben ser positivas, por lo que cada factor de la factorización debe ser mayor que cero.
Conclusión: El valor mínimo de x que garantiza dimensiones positivas es cualquier valor mayor que 3. Si se decide tomar un valor entero, el más pequeño sería x = 4.
1) Calcula primero la aproximación de x. 2) Sustitúyela en cada factor. 3) Multiplica y redondea al tercer decimal.
$$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3} \approx \frac{6 - 1.732}{3} = \frac{4.268}{3} \approx 1.423$$
Luego evaluamos V(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3):
$$(1.423 - 1)(1.423 - 2)(1.423 - 3) \approx (0.423)(-0.577)(-1.577) \approx 0.423 \times 0.9115 \approx 0.386$$
Conclusión: El volumen aproximado es 0.386 m³.
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Tema 11. Productos notables, factoreo y racionalización
Respondo la siguiente pregunta. ¿Cómo aplico factoreo en la vida diaria? Explico mi respuesta con un ejemplo.
16. Completo los espacios en blanco para que se cumplan las igualdades planteadas.
a) $$x^2 + \dots + 8 = (x + 2)(x + \dots)$$
b) $$\dots + 10x + 9 = (x + \dots)(x + 9)$$
c) $$25 + \dots m^2 n^2 = (\dots + 5)^2$$
d) $$\dots - 14n + \dots = (7n - \dots)^2$$
¿Sabías qué?
Los productos notables como su nombre lo indica, son multiplicaciones algebraicas; que cumplen reglas precisas.
Cada producto corresponde a una regla de factorización que las estudiaremos a continuación.
17. Resuelvo los siguientes problemas en mi cuaderno.
a) Fernanda desea pintar una pared rectangular cuya superficie puede ser expresada como $$a^2n - 8an + 15$$.
- ¿Cuáles son las dimensiones de la pared?
- ¿Cuáles son las dimensiones de la pared si se sabe que a = 5m y b = 2m?
- Escribo una expresión algebraica para calcular el costo total de pintura si con cada galón se pinta 3 m². Si el galón de pintura cuesta $ 3,5.
b) Juan desea construir una cisterna cuadrangular con un volumen de $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$ expresado en metros cúbicos.
- Factorizo la expresión.
- Argumento mi respuesta de la pregunta. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar x?
- Aproximo la respuesta a la milésima más cercana. ¿Cuál es el volumen de la cisterna si x = $$\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$$?