Página 76 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para cada apartado:

• Si ves una desigualdad compuesta del tipo $$a\le b\le c$$, sepárala en dos: $$a\le b$$ y $$b\le c$$, resuelve cada una y toma la intersección.
• Para sistemas con varias inecuaciones, despeja cada una en forma $$y=mx+n$$ (o $$x= constante$$) si es posible.
• Grafica cada frontera (línea) y determina de qué lado queda la solución probando un punto.
• La solución del sistema es la región común a todos los semiplanos.

Análisis general: Cada apartado es una inecuación simple o un sistema de inecuaciones. Se resolverá paso a paso y se representará la región resultante en el plano.

1. Parte a) 2x + 10 ≤ 2x + 2 ≤ x + 11
   – Primera desigualdad: $$2x+10\le2x+2$$ ⇒ $$10\le2$$, que es falso. No hay valores de x que satisfagan ambas.
   Conclusión: ∅ (no hay solución).
2. Parte b) Sistema: 3x − 1 ≥ 7 + x y x < 1 + 2x
   • Resolviendo 3x−1 ≥ 7+x ⇒ 3x−x ≥ 7+1 ⇒ 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4.
   • Resolviendo x < 1+2x ⇒ x−2x < 1 ⇒ −x < 1 ⇒ x > −1.
   • Intersección: x ≥ 4.
   Conclusión: Solución en el plano cartesiano: semiplano vertical { (x,y) | x ≥ 4 }.
3. Parte c) Sistema: y ≤ −\frac{2}{3}x y x+2y ≥ −\frac{2}{3}x−2
   • Despejar segunda: x+2y ≥ −(2/3)x−2 ⇒ multiplicar por 3: 3x+6y ≥ −2x−6 ⇒ 5x+6y ≥ −6 ⇒ y ≥ −\frac{5}{6}x−1.
   • Región solución: intersección de y ≤ −\frac{2}{3}x (debajo de esa línea) y y ≥ −\frac{5}{6}x−1 (encima de esa línea).
4. Parte d) Sistema: x > y; x + y > 8; x ≥ 1; y ≥ −1.
   – Cada desigualdad define un semiplano:
     • x>y: región por encima de la línea y=x (pero sin incluirla).
     • x+y>8: región por encima de la línea x+y=8.
     • x≥1: semiplano a la derecha de x=1.
     • y≥−1: semiplano por encima de y=−1.
   – La solución es la intersección de estos cuatro semiplanos, un área poligonal en el primer y segundo cuadrante limitado por esas fronteras.