Página 92 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda la fórmula $$V=\pi r^2h$$ y que diámetro es el doble del radio. Relaciona el diámetro con la altura para escribir r en función de h.

Análisis: El volumen V de un cilindro de radio r y altura h se calcula con $$V=\pi r^2h$$. Se da que el diámetro d = (2/3)h, por tanto r = d/2 = (1/3)h.

Resolución paso a paso:

1. Relacionar diámetro y altura: $$d=\frac{2}{3}h$$ → $$r=\frac{d}{2}=\frac{1}{3}h$$.
2. Sustituir r en la fórmula del volumen: $$V(h)=\pi\bigl(\frac{h}{3}\bigr)^2h=\pi\frac{h^2}{9}h=\frac{\pi}{9}h^3$$.

Respuesta final: $$V(h)=\frac{\pi}{9}h^3$$.

Usa el teorema de Pitágoras $$c=\sqrt{a^2+b^2}$$. Identifica correctamente los catetos (los dos lados del terreno) y define la variable para el lado mayor.

Análisis: Sea x la longitud del lado mayor, y el otro lado mide x-25. La diagonal d se obtiene con el teorema de Pitágoras: $$d^2=x^2+(x-25)^2$$.

Resolución paso a paso:

1. Expresar d como función de x: $$d(x)=\sqrt{x^2+(x-25)^2}$$.
2. Opcional: desarrollar la expresión bajo la raíz: $$d(x)=\sqrt{2x^2-50x+625}$$.
3. Determinar el dominio: x ≥ 25 para que ambos lados sean positivos.

Respuesta final: $$d(x)=\sqrt{x^2+(x-25)^2}$$.

Define un parámetro de escala k y usa la fórmula $$V=abc$$ para un prisma rectangular con lados a, b y c.

Análisis: Si los lados guardan proporción 2:3:5, definimos k como factor de escala. Entonces los lados son 2k, 3k y 5k, y el volumen V = a·b·c.

Resolución paso a paso:

1. Asignar variables: $$a=2k,\ b=3k,\ c=5k$$.
2. Calcular el volumen: $$V(k)=a\times b\times c=2k\times3k\times5k=30k^3$$.

Respuesta final: $$V(k)=30k^3$$.

Para graficar, marca cada punto usando sus coordenadas. Verifica si pertenecen a una línea recta o forman una curva al unirlos.

Análisis: Tenemos pares ordenados que debemos representar en el plano cartesiano.

Resolución paso a paso:

1. Dibuja los ejes cartesianos y marca las unidades en x y en y.
2. Ubica y etiqueta los puntos:
   • (-2, -5)
   • (-1, -1)
   • (0, 1)
   • (1, 5)
   • (3, 9)
3. Si se desea observar tendencia, une los puntos en orden de menor a mayor x (opcional).

Conclusión: La gráfica muestra los cinco puntos correspondientes a la tabla.

Usa la forma pendiente-intercepto $$y=mx+b$$. Primero marca (0,b) y luego sube 7 unidades por cada 2 que avances en x para usar la pendiente m=7/2.

Análisis: Es una función lineal de forma $$y=mx+b$$ con pendiente m=7/2 y ordenada al origen b=9/8.

Resolución paso a paso:

1. Punto de corte con el eje y: x=0 → f(0)=9/8=1,125.
2. Elegir otro valor de x, por ejemplo x=2 → f(2)=7+1,125=8,125.
3. Marcar los puntos (0,1,125) y (2,8,125) en el plano.
4. Unir los puntos con una línea recta y extenderla en ambas direcciones.

Conclusión: La gráfica es una línea con pendiente $$\frac{7}{2}$$ y ordenada al origen $$\frac{9}{8}$$.