Página 93 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para graficar cualquier recta $$y = mx + b$$:

• Calcula la intersección con el eje Y poniendo $$x = 0$$.
• Calcula la intersección con el eje X poniendo $$y = 0$$.
• Con esos dos puntos, une con una regla.
• Recuerda que pendiente m>0 indica crecimiento.

Análisis del problema: Se pide graficar una función lineal de pendiente positiva (creciente) cuya intersección con el eje X sea un punto con abscisa positiva.

Resolución paso a paso:

1. Sea la forma general $$y = mx + b$$, con pendiente m>0.
2. Para hallar la intersección con el eje X, ponemos $$y = 0$$: $$0 = m x + b \,\Rightarrow\, x = -\frac{b}{m}$$. Queremos $$x > 0$$, por lo que elegimos b<0.
3. Por ejemplo, tomemos $$m = 1, \; b = -3$$. Entonces la función es $$y = x - 3$$, cuya intersección en X es (3, 0).
4. Para graficar, marcamos los puntos (0, –3) y (3, 0) y trazamos la recta que los une.

Conclusión: La función $$y = x - 3$$ es lineal creciente y corta al eje X en (3, 0).

Comprueba siempre las condiciones usando $$y = mx + b$$ y el punto dado:

• De $$0 = m(-2) + b$$ obtienes $$b=2m$$.
• Comprueba si m<0 puede coexistir con b>0.

Análisis del problema: Una recta $$y = mx + b$$ debe cumplir:

• Ser decreciente: m<0.
• Intersección positiva en el eje Y: b>0.
• Paso por (-2, 0): $$0 = m(-2) + b \,\Rightarrow\, b = 2m$$.

Resolución: De $$b = 2m$$ y la condición m<0 se sigue que $$b = 2m<0$$, lo cual contradice b>0. Por ello, no existe ninguna recta decreciente que pase por (-2, 0) y tenga intersección positiva en el eje Y.

Conclusión: No es posible satisfacer todas las condiciones simultáneamente.

Para analizar funciones de la forma $$f(x)=2x^2-3x+\frac{36}{x}$$:

• Encuentra el dominio (prohíbe denominador cero).
• Calcula $$f'(x)$$ para localizar puntos críticos.
• Usa $$f''(x)$$ para determinar si son máximos o mínimos.
• Estudia los límites en los extremos de cada intervalo para el recorrido.
• Determina los intervalos donde $$f'(x) > 0$$ (creciente) y $$f'(x) < 0$$ (decreciente).

Análisis del problema: La función $$f(x)=2x^2-3x+\frac{36}{x}$$ es continua en x≠0. Para completar la tabla necesitamos:

1. Dominio
2. Recorrido
3. Máximo o mínimo (coordenadas)
4. Monotonía (intervalos crecientes y decrecientes)

Resolución paso a paso:

1. Dominio: x≠0 ⇒ (-∞, 0) ∪ (0, ∞).
2. Derivada: $$f'(x)=4x - 3 - \frac{36}{x^2}$$. Igualamos a cero:
3. $$4x - 3 - \frac{36}{x^2}=0 \;\Rightarrow\;4x^3 -3x^2 -36=0$$. Solución real aproximada: x₀≈2.365.
4. Segundo criterio: $$f''(x)=4 + \frac{72}{x^3}$$ es positivo en x₀, luego hay un mínimo local. Calculamos f(x₀)≈19.33.
5. Recorrido: Observando los límites:
   • En (0, ∞): f→+∞ cuando x→0⁺ y f→+∞ cuando x→∞, con un mínimo ≈19.33.
   • En (-∞, 0): f→+∞ cuando x→-∞ y f→-∞ cuando x→0⁻, cubre todos los valores reales.
   ⇒ El recorrido es ℝ.
6. Monotonía: Analizando el signo de f':
   • Para x<0: f'(x)<0 ⇒ decreciente en (-∞, 0).
   • Para 0<x<2.365: f'(x)<0 ⇒ decreciente en (0, 2.365).
   • Para x>2.365: f'(x)>0 ⇒ creciente en (2.365,∞).

Conclusión (tabla):

• Dominio: (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
• Recorrido: ℝ
• Máximo o mínimo: Mínimo local en (2.365, 19.33)
• Creciente: (2.365, ∞)
• Decreciente: (-∞, 0) ∪ (0, 2.365)