Página 93 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Características de las funciones
Resolución Página 93 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Para graficar cualquier recta $$y = mx + b$$:
- Calcula la intersección con el eje Y poniendo $$x = 0$$.
- Calcula la intersección con el eje X poniendo $$y = 0$$.
- Con esos dos puntos, une con una regla.
- Recuerda que pendiente m>0 indica crecimiento.
Análisis del problema: Se pide graficar una función lineal de pendiente positiva (creciente) cuya intersección con el eje X sea un punto con abscisa positiva.
Resolución paso a paso:
- Sea la forma general $$y = mx + b$$, con pendiente m>0.
- Para hallar la intersección con el eje X, ponemos $$y = 0$$: $$0 = m x + b \,\Rightarrow\, x = -\frac{b}{m}$$. Queremos $$x > 0$$, por lo que elegimos b<0.
- Por ejemplo, tomemos $$m = 1, \; b = -3$$. Entonces la función es $$y = x - 3$$, cuya intersección en X es (3, 0).
- Para graficar, marcamos los puntos (0, –3) y (3, 0) y trazamos la recta que los une.
Conclusión: La función $$y = x - 3$$ es lineal creciente y corta al eje X en (3, 0).
Comprueba siempre las condiciones usando $$y = mx + b$$ y el punto dado:
- De $$0 = m(-2) + b$$ obtienes $$b=2m$$.
- Comprueba si m<0 puede coexistir con b>0.
Análisis del problema: Una recta $$y = mx + b$$ debe cumplir:
- Ser decreciente: m<0.
- Intersección positiva en el eje Y: b>0.
- Paso por (-2, 0): $$0 = m(-2) + b \,\Rightarrow\, b = 2m$$.
Resolución: De $$b = 2m$$ y la condición m<0 se sigue que $$b = 2m<0$$, lo cual contradice b>0. Por ello, no existe ninguna recta decreciente que pase por (-2, 0) y tenga intersección positiva en el eje Y.
Conclusión: No es posible satisfacer todas las condiciones simultáneamente.
Para analizar funciones de la forma $$f(x)=2x^2-3x+\frac{36}{x}$$:
- Encuentra el dominio (prohíbe denominador cero).
- Calcula $$f'(x)$$ para localizar puntos críticos.
- Usa $$f''(x)$$ para determinar si son máximos o mínimos.
- Estudia los límites en los extremos de cada intervalo para el recorrido.
- Determina los intervalos donde $$f'(x) > 0$$ (creciente) y $$f'(x) < 0$$ (decreciente).
Análisis del problema: La función $$f(x)=2x^2-3x+\frac{36}{x}$$ es continua en x≠0. Para completar la tabla necesitamos:
- Dominio
- Recorrido
- Máximo o mínimo (coordenadas)
- Monotonía (intervalos crecientes y decrecientes)
Resolución paso a paso:
- Dominio: x≠0 ⇒ (-∞, 0) ∪ (0, ∞).
- Derivada: $$f'(x)=4x - 3 - \frac{36}{x^2}$$. Igualamos a cero:
- $$4x - 3 - \frac{36}{x^2}=0 \;\Rightarrow\;4x^3 -3x^2 -36=0$$. Solución real aproximada: x₀≈2.365.
- Segundo criterio: $$f''(x)=4 + \frac{72}{x^3}$$ es positivo en x₀, luego hay un mínimo local. Calculamos f(x₀)≈19.33.
- Recorrido: Observando los límites:
- En (0, ∞): f→+∞ cuando x→0⁺ y f→+∞ cuando x→∞, con un mínimo ≈19.33.
- En (-∞, 0): f→+∞ cuando x→-∞ y f→-∞ cuando x→0⁻, cubre todos los valores reales.
- Monotonía: Analizando el signo de f':
- Para x<0: f'(x)<0 ⇒ decreciente en (-∞, 0).
- Para 0<x<2.365: f'(x)<0 ⇒ decreciente en (0, 2.365).
- Para x>2.365: f'(x)>0 ⇒ creciente en (2.365,∞).
Conclusión (tabla):
- Dominio: (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
- Recorrido: ℝ
- Máximo o mínimo: Mínimo local en (2.365, 19.33)
- Creciente: (2.365, ∞)
- Decreciente: (-∞, 0) ∪ (0, 2.365)
Contenido Página 93 - Libro de Matemática de Octavo Grado
7. Grafico una función lineal creciente y una decreciente con las condiciones indicadas.
Creciente con una de las intersecciones en el eje positivo de las x.
[Diagrama: cuadricula para graficar función lineal creciente]
Decreciente con una intersección en el eje positivo de las x, y que pase por el punto (-2, 0).
[Diagrama: cuadricula para graficar función lineal decreciente]
8. Completo la tabla con las características de la siguiente función.
$$f(x)=2x^2-3x+\frac{36}{x}$$
| Dominio | |
|---|---|
| Recorrido | |
| Máximo o mínimo | |
| Monotonía | Creciente |
| Decreciente |