Página 99 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda que una función de potencia tiene la forma $$f(x)=x^n$$, donde n es un número entero positivo. Observa la forma de la curva:

• Si es línea recta, n=1.
• Si es parábola, n=2.
• Si cambia de concavidad dos veces («S»), n=3.

Análisis del problema: En la gráfica aparecen tres funciones de la forma potencia de la variable independiente: A (recta), B (parábola) y C (curva cúbica). Debemos identificar el grado de cada potencia, su nombre y una expresión algebraica canónica.

Resolución paso a paso:

1. Función A: Es una línea recta. El exponente de la variable es 1.
   Grado: 1
   Nombre: función lineal
   Expresión: $$f(x)=x$$
2. Función B: Tiene forma de U (parábola). El exponente de la variable es 2.
   Grado: 2
   Nombre: función cuadrática
   Expresión: $$f(x)=x^2$$
3. Función C: Presenta una forma de “S” característica de un polinomio de grado 3.
   Grado: 3
   Nombre: función cúbica
   Expresión: $$f(x)=x^3$$

Conclusión: La tabla queda completa con los grados, nombres y expresiones de cada función de potencia.

Para resolver funciones lineales:

• Identifica la forma $$f(x)=mx+b$$.
• La pendiente m es el coeficiente de x.
• La intersección con y es el valor b (cuando x=0).
• La intersección con x se halla igualando $$f(x)=0$$ y despejando x.

Análisis del problema: Una función lineal tiene forma $$f(x)=mx+b$$. Debemos hallar, en cada fila, la pendiente m, la intersección con el eje x (punto donde y=0) y la intersección con el eje y (punto donde x=0).

Resolución paso a paso:

1. Fila 1:
   Función dada: $$f(x)=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{8}{7}$$
   Pendiente: $$m=-\tfrac{1}{4}$$
   Intersección con y (x=0): $$(0,\tfrac{8}{7})$$
   Intersección con x (f(x)=0): $$0=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{8}{7}\Rightarrow x=\tfrac{32}{7}$$, punto $$(\tfrac{32}{7},0)$$.
2. Fila 2:
   Pendiente: $$m=3$$
   Punto dado: $$(3,9)$$
   Encontrar b de $$9=3\cdot3+b\Rightarrow b=0$$
   Función: $$f(x)=3x$$
   Intersección con y (x=0): $$(0,0)$$
   Intersección con x (f(x)=0): $$0=3x\Rightarrow x=0$$, punto $$(0,0)$$.

Conclusión: Se han completado pendiente, intersecciones y ecuaciones para ambas filas de la tabla.