Página 10 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato

• Product of powers: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• Potencia de potencia: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Análisis del problema: Tenemos la ecuación $$x^x = 2$$, y necesitamos calcular $$E = x^{3x} \cdot x^{x+1}$$.

Resolución:

1. Dado que $$x^x = 2$$, podemos expresar $$x^{3x}$$ como $$(x^x)^3 = 2^3 = 8$$.

2. Expresamos $$x^{x+1}$$ utilizando $$x^x = 2$$:
$$x^{x+1} = x^x \cdot x = 2 \cdot x$$.

3. Sustituyendo en $$E$$:
$$E = x^{3x} \cdot x^{x+1} = 8 \cdot (2 \cdot x) = 16x$$.

Conclusión: El valor de $$E$$ es $$16x$$.

• Producto de potencia: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• División de potencias: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ si $$a \neq 0$$

Análisis del problema: Dados $$x$$ y $$y$$ como números enteros con $$y-x=2$$, encontrar el valor simplificado de la expresión:

$$(y-x) \sqrt{\frac{x^x y^y y^x x^y}{x^y y^x x^y y^x}}$$.

Resolución:

1. Simplificación del radical:
La expresión dentro de la raíz se reduce a:
$$\frac{x^x y^y y^x x^y}{x^y y^x x^y y^x} = \frac{(x^x)(y^y)(y^x)(x^y)}{(x^y)(y^x)(x^y)(y^x)} = 1$$.

2. Por lo tanto, la raíz se simplifica a 1.

3. Sustituimos el resultado en la expresión general:
$$(y-x) \cdot 1 = y - x$$.

4. Sustituir $$y-x=2$$ en la ecuación:
$$y - x = 2$$.

Conclusión: El valor más simple de la expresión es 2.

• Sustituye el valor dado para una variable en las ecuaciones.
• Simplifica la ecuación usando propiedades básicas del álgebra.
• Resuelve para encontrar los valores deseados de las incógnitas restantes.

Análisis del problema: Se nos da un sistema de ecuaciones de forma $$2x + 7y = r$$ y $$x + 9y = m$$, y se debe cumplir que $$y = x - 7$$.

Resolución:

1. Sustituir $$y = x - 7$$ en las ecuaciones:

• Para $$2x + 7y = r$$:
  $$2x + 7(x - 7) = r$$.
  $$2x + 7x - 49 = r$$.
  $$9x - 49 = r$$.
• Para $$x + 9y = m$$:
  $$x + 9(x - 7) = m$$.
  $$x + 9x - 63 = m$$.
  $$10x - 63 = m$$.

2. De aquí, se pueden resolver valores específicos de $$r$$ y $$m$$ basados en $$x$$.

Conclusión: El valor de $$m$$ está expresado en términos de $$x$$ como $$10x - 63$$.