Página 11 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato

Piensa en situaciones donde necesitas encontrar más de un valor desconocido al mismo tiempo. Los sistemas de ecuaciones te permiten manejar estas situaciones eficientemente al organizar la información y buscar soluciones simultáneas.

Un sistema de ecuaciones se utiliza en la vida diaria para resolver problemas que involucran varias incógnitas interrelacionadas. Por ejemplo, en finanzas personales para gestionar ingresos y gastos, en ingeniería para calcular fuerzas y recursos necesarios, o en situaciones cotidianas como planificar un viaje optimizando costos y tiempo.

Para resolver un sistema por sustitución, primero despeja una variable en una de las ecuaciones. Luego, sustituye esta expresión en las otras ecuaciones hasta que todas las variables estén despejadas.

Resolución del sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

Paso 1: Elegimos la primera ecuación para despejar una variable:

Simplificamos la primera ecuación $$-x_1+x_2=-2$$ para despejar $$x_2$$:

$$x_2=x_1-2$$

Paso 2: Sustitución en la segunda ecuación:

Reemplazamos $$x_2$$ en $$3x_1+3x_2=6$$:

$$3x_1+3(x_1-2)=6$$

Simplificamos:

$$3x_1+3x_1-6=6$$

$$6x_1=12$$

$$x_1=2$$

Paso 3: Despejamos $$x_2$$ usando el resultado de $$x_1$$:

$$x_2=2-2=0$$

Paso 4: Sustitución en la tercera ecuación para encontrar $$x_3$$:

Reemplazamos $$x_1$$ en $$3x_1-x_3=4$$:

$$3(2)-x_3=4$$

$$6-x_3=4$$

$$x_3=2$$

Por lo tanto, la solución del sistema es $$x_1=2$$, $$x_2=0$$, $$x_3=2$$.

La eliminación gaussiana es un método sistemático que convierte un sistema de ecuaciones lineales en una forma escalonada. Realiza filas de operaciones hasta que puedas resolver el sistema por sustitución hacia atrás.

Resolución del sistema de ecuaciones por el método de eliminación gaussiana:

Paso 1: Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& |& -12\\ 1& -2& -3& |& 5\end{array}\right)$$

Paso 2: Realizamos operaciones fila para eliminar una de las variables:

Restamos la fila 1 de la fila 2:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& |& -12\\ 0& -3& -2& |& 17\end{array}\right)$$

Paso 3: Sustitución hacia atrás:

Despejamos $$y$$ de la segunda ecuación:

$$-3y-2z=17$$

$$y=\frac{-17-2z}{-3}$$

Sustituimos en la primera ecuación:

$$x+\left(\frac{-17-2z}{-3}\right)-z=-12$$

Resolvemos para $$x$$:

$$x=-12+z+\frac{17+2z}{3}$$

Por lo tanto, las soluciones están en función de $$z$$.