Página 12 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato

Cuando una matriz tiene ecuaciones con desconocidos, puedes elegir dejar alguna incógnita en términos de otra o establecer un valor específico. Si eliges sustituir, asegúrate de que las ecuaciones se mantengan consistentes. Usa la teoría de matrices y sistemas de ecuaciones para guiar tus elecciones.

Análisis del problema:
Cuando una matriz tiene ecuaciones con incógnitas faltantes, se deben establecer valores que completen el sistema de manera consistente con las otras ecuaciones. Esto puede implicar asumir valores o trabajar con parámetros.

Resolución:
1. Identificar las variables incógnitas y las ecuaciones presentes en la matriz.
2. Evaluar la posibilidad de atribuir valores específicos que permitan completar el sistema.
3. Considerar la utilización de parámetros cuando una única solución no es clara o cuando se busca mantener generalidad.

Conclusiones:
Al completar una matriz con incógnitas faltantes, el sistema puede volverse indeterminado, presentando múltiples soluciones, o inconsistente, sin solución alguna, dependiendo de cómo se asignen los valores.

Para sumar matrices, asegúrate de sumar cada elemento de la primera matriz con cada elemento correspondiente de la segunda. Compara el resultado con la matriz objetivo para resolver cada incógnita.

Análisis del problema:
Se deben sumar las matrices A y B y luego igualar los elementos resultantes a la matriz C para resolver x, y, y z.

Resolución:
Paso 1: Escribir las matrices A y B.
$$ A = \begin{pmatrix} x-y & 1 & 2 \\ 1 & y-x & -z \\ 0 & x & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} y & 0 & z \\ -z & 2 & 1 \\ -2 & 3 & x \end{pmatrix} $$
Paso 2: Sumar A y B.
$$ A + B = \begin{pmatrix} (x-y) + y & 1+0 & 2+z \\ 1-z & (y-x) + 2 & -z+1 \\ 0-2 & x+3 & 2+x \end{pmatrix} $$
Paso 3: Igualar A + B a la matriz C.
$$ \begin{pmatrix} x & 1 & 2+z \\ 1-z & y-x+2 & -z+1 \\ -2 & x+3 & 2+x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} $$
Paso 4: Resolver las ecuaciones para cada elemento:
- Para el elemento (1,1): $$ x = -1 $$.
- Para el elemento (2,1): $$ 1-z = 0 $$ $$ z = 1 $$.
- Para el elemento (2,2): $$ y-(-1) = 3 $$ $$ y = 4 $$.

Conclusiones:
Los valores de las variables son: $$x = -1, y = 4, z = 1$$.

Para resolver ecuaciones que derivan de matrices igualadas, suma los elementos correspondientes y fija estos igual a las partes de la matriz de resultado, resolviendo para cada incógnita.

Análisis del problema:
Necesitamos resolver cada componente individual del sistema de ecuaciones generado al igualar las matrices sumadas a la matriz dada.

Resolución:
Paso 1: Escribir las matrices para resolver.
$$ \begin{pmatrix} a-1 & 6 & 3 \\ 4 & 1-c & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+6 & 1 \\ -c+6 & 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & c-1 \\ 5 & 3-c & 4 \end{pmatrix} $$
Paso 2: Sumar las matrices en el lado izquierdo.
$$ = \begin{pmatrix} (a-1)+(a+6) & 6+1 & 3 \\ 4+(-c+6) & (1-c)+2 & 5-1 \end{pmatrix} $$
Paso 3: Resolver las ecuaciones para cada elemento:
- Para el elemento (1,1): $$ 2a+5 = 2 $$, resolviendo da $$ a = -\frac{3}{2} $$.
- Para el elemento (1,2): La igualdad se cumple sin más ajustes.
- Para el elemento (2,1): $$ 4-c+6 = 5 $$, resolviendo da $$ c = 5 $$.

Conclusiones:
Los valores son: $$a = -\frac{3}{2}, c = 5$$. "b" no afecta la solución de la matriz y no está presente.

Puedes usar métodos de álgebra lineal para resolver la matriz, como la eliminación de Gauss o el cálculo de la inversa de la matriz. Asegúrate de revisar si el rango de la matriz coincide con el número de incógnitas para determinar la naturaleza del sistema.

Análisis del problema:
Cuando en una matriz falta una de sus incógnitas en un sistema de ecuaciones, esto puede llevar a varias posibilidades:
- El sistema puede ser un sistema compatible determinado, donde hay una única solución.
- El sistema puede ser un sistema compatible indeterminado, donde hay infinitas soluciones.
- El sistema puede ser incompatible, donde no hay solución.

Resolución:
Para llenar una matriz en estas circunstancias, debes seguir estos pasos:
1. Escribir las ecuaciones lineales derivadas del problema.
2. Organizar los coeficientes y términos independientes en la matriz.
3. Usar métodos como eliminación de Gauss o matrices inversas para intentar resolver la matriz.
4. Analizar los criterios de consistencia (por ejemplo, que el rango de la matriz sea igual al rango de la matriz aumentada) para determinar la naturaleza del sistema.

Conclusiones:
Al saber cómo completar la matriz y analizar las ecuaciones, podrás identificar las características del sistema ecuacional y qué tipo de soluciones son posibles.

Para resolver este problema, ten en cuenta que necesitas igualar término a término las matrices A + B con la matriz que se da. Empieza por los términos más sencillos y luego verifica cómo afectan las soluciones a las otras ecuaciones.

Análisis del problema:
Se nos dan dos matrices A y B, y necesitamos encontrar los valores de x, y, y z que satisfagan A+B igual a la tercera matriz dada.

Resolución:
Paso 1: Escribir las matrices.
A = $$\begin{pmatrix} x-y & 1 & 2 \\ 1 & y-x & -z \\ 0 & x & 2 \end{pmatrix}$$
B = $$\begin{pmatrix} y & 0 & z \\ -z & 2 & 1 \\ -2 & 3 & x \end{pmatrix}$$
A+B = $$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Paso 2: Sumamos las matrices A y B.
$$\begin{pmatrix} (x-y)+y & 1+0 & 2+z \\ 1-z & (y-x)+2 & -z+1 \\ 0-2 & x+3 & 2+x \end{pmatrix}$$ = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Paso 3: Simplificamos las ecuaciones:
- Ecuación 1: $$x = -1$$
- Ecuación 2: $$1 = -1$$ no tiene sentido, debería ser compensación
- Ecuación 3 resolver directamente: $$2+z=-2\Rightarrow z=-4$$
Termina evaluando, finalmente serás capaz de encontrar y ajustando x e y efectivamente.

Conclusión:
Los valores que satisfacen estas ecuaciones para las matrices son x = -1; z = -4; y se ajusta debidamente el x con esta comprobación directa y determinación cada tramo sucesivo.

Para encontrar los valores de a, b y c es necesario igualar las matrices correspondientes. Escribe las ecuaciones de cada elemento y resuélvelas. Se puede hacer un chequeo asegurando que cada celda después de la variabilidad averiguada convergen correctamente.

Análisis del problema:
Para resolver este problema, se requiere encontrar los valores de a, b y c que cumplan con la igualdad entre dos matrices.

Resolución:
Paso 1: Escribimos las ecuaciones de las matrices:
$$\begin{pmatrix} a-1 & 6 & 3 \\ 4 & 1-c & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+6 & 1 \ -c+6 & 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & c-1 \\ 5 & 3-c & 4 \end{pmatrix}$$

Paso 2: Realizamos la suma término a término.
Sumamos términos correspondientes con sus sumas algebraicas y así:
- $$Ecuación\ 1: a-1 + a+6 = 2$$\Rightarrow 2a + 5 = 2$$\Rightarrow 2a = -3 \Rightarrow a = -2\text{.5}$$
- Similares pasos siguen para:
- $$b+1 = 4, b = 3$$
- $$1-c+c+6 = 3-c\Rightarrow c+6 = 3$$\Rightarrow c = -3\text{.5}$$

Conclusión:
Los valores de a, b, y c que resuelven la ecuación son a = -2.5, b = 3, y c = -3.5.