Página 13 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato
Resolución Página 13 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato
Datos para la resolución:
Explicación
El sistema de ecuaciones lineales es:
2x + y = 3
x + 3y = 18
Resolución:
1. Escriba el sistema en forma de matriz:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 \\ 18 \end{pmatrix}
2. Calcule el determinante de A:
\det(A) = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5
3. Inversa de A:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}
4. Sustituir en:
X = A^{-1} B
X = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 18 \end{pmatrix}
5. Calculando:
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3(3) - 1(18)}{5} \\ \frac{-1(3) + 2(18)}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}
Conclusión:
Las soluciones son x = -3 y y = 7.
Datos para la resolución:
Explicación
Se te pide simplificar una fracción algebraica, dividiendo el numerador por el denominador.
Resolución:
1. Analiza el numerador:
4x^2(2x+3) + 4(6x+9) = 8x^3 + 12x^2 + 24x + 36
2. Factoriza el numerador por factor común:
4(2x^3 + 3x^2 + 6x + 9)
3. Revisa si puedes simplificar el denominador de la misma manera.
4. Determina si los términos se pueden cancelar.
No hay factores comunes para cancelar.
Conclusión:
La fracción no se puede simplificar más sin información adicional.
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4. Aplico el método de determinantes para resolver los siguientes ejercicios:
a) \(2x+y=3\) \(x+3y=18\)
b) \(x+2y+3z=8\) \(2x+y-z=3\) \(-2x-y+2z=1\)
c) Encuentro el valor de \(a\) para que el sistema $$\begin{align*} 2x - 5 = 4 \\ ax + 10y = 4 \\ \end{align*}$$ se satisfaga: $$\forall x \; \exists \, R * \; \forall y \; \exists \, R *$$
5. Resuelvo los siguientes problemas:
a) Para ir a su trabajo, María utiliza dos medios de transporte: el colectivo, cuyo pasaje es de $0,30 y la Metrovía, donde el pasaje cuesta $0,40. Semanalmente, gasta $7,40; además, se conoce que, en total, realiza 20 viajes a la semana. ¿Cuántos viajes puede hacer en cada medio de transporte?
b) Abigail y Bernardo pueden hacer un proyecto de Física en 9 días; Abigail y Camilo son capaces de hacerlo en 8 días; y Bernardo y Camilo lo hacen en 12 días. ¿Cuánto tiempo se tarda cada persona en hacer el trabajo si lo hacen solos?
6. Simplifico las siguientes fracciones:
a) \(\frac{4x^2(2x+3) + 4(6x+9)}{2x^2 + 5x + 3}\)
b) \(\frac{x-1}{x^2-x}\)
c) \(\frac{[x^2-2x+1]^2}{x^2+2x+1}\)
7. Resuelvo los siguientes ejercicios:
a) Si \(A\) es una matriz triangular inferior:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & p & 0 \\ 4 & 3p + 1 & q \end{pmatrix}$$
Calculo el valor de \(m+p+q\).
b) Sea \(N=(0 -a -a 0)\), calculo el valor de \(N^5\).
c) Sean \(A\) y \(B\) dos matrices definidas por \(A=(0 i 0 0)\);\(B=(w 0 0w^3)\) además, se sabe que \(\sqrt{w}\) y \(w^{11}\). CALCULO el valor de la siguiente operación matricial: $$(A^8+B^6) (A^4+B^9)$$
8. Resuelvo los siguientes problemas aplicando el método de eliminación gaussiana:
a) Ronny compró tres regalos A, B y C, para tres amigos. Cada uno pagó $117, por los tres regalos, tras aplicar un descuento del 10% sobre el precio total. Además, se sabe que el precio del regalo C es el doble que el del regalo A, y que el regalo C es $20 más caro que el regalo B. ¿Cuánto gastó en cada regalo?
b) Un estadio de fútbol con capacidad para 72 000 espectadores está lleno durante la celebración de un partido entre los equipos A y B. Unos espectadores son socios del equipo A, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno de los equipos que están jugando. A través de la venta de los boletos se sabe lo siguiente:
No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente. Por cada 13 socios de alguno de los dos