Página 9 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato

Las ecuaciones son expresiones matemáticas que establecen una igualdad (una igualdad establece que dos expresiones tienen el mismo valor). En física y química, las fórmulas suelen expresar cómo una cantidad depende de otras, como la masa, el volumen, la energía, etc. Entender las ecuaciones como representaciones de relaciones entre variables te ayudará a abordar problemas complejos paso a paso, despejando las incógnitas cuando sea necesario.

Las fórmulas físicas y químicas se consideran ecuaciones porque representan relaciones matemáticas precisas entre diferentes variables. En una ecuación, estas variables pueden ser constantes, coeficientes o incógnitas que deben equilibrarse para que la igualdad se mantenga. Por ejemplo, en la física, la Ley de Coulomb expresa la fuerza eléctrica como función de cargas y distancia, equilibrando ambos lados de la ecuación. Una ecuación en química puede describir la relación entre reactantes y productos en una reacción química, asegurando que la masa se conserve y las proporciones sean correctas. En ambos casos, las fórmulas tienen la forma de ecuaciones porque muestran cómo una cantidad depende de otras.

Para despejar una incógnita en una ecuación, sigue estas estrategias:

• Identifica la operación actual que se realiza con la incógnita y aplica la operación opuesta. Por ejemplo, si se multiplica, divide.
• Simplifica ambos lados de la ecuación paso a paso para aislar la incógnita.
• Ten cuidado al trabajar con raíces y potencias, pues pueden requerir pasos adicionales.

a) Despejar la distancia r en la Ley de Coulomb:

La ecuación es $$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$. Para despejar r, sigue estos pasos:

1. Multiplica ambos lados por r² para eliminar el denominador: $$Fr^2 = k q_1 q_2$$.
2. Divide entre F para despejar r²: $$r^2 = \frac{k q_1 q_2}{F}$$.
3. Toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener r: $$r = \sqrt{\frac{k q_1 q_2}{F}}$$.

b) Despejar la resistencia R_e en resistencias en paralelo:

La fórmula es $$\frac{1}{R_e} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$. Para despejar R_e:

1. Invierta ambos lados de la ecuación para hacer R_e el numerador: $$R_e = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$$.

c) Despejar x en la fórmula de la velocidad para un péndulo simple:

La ecuación dada es $$\varphi = a \sqrt{A^2 - x^2}$$. Para despejar x:

1. Divide ambos lados entre a: $$\frac{\varphi}{a} = \sqrt{A^2 - x^2}$$.
2. Cuadra ambos lados para eliminar la raíz: $$\left(\frac{\varphi}{a}\right)^2 = A^2 - x^2$$.
3. Despeja x²: $$x^2 = A^2 - \left(\frac{\varphi}{a}\right)^2$$.
4. Finalmente, $$x = \sqrt{A^2 - \left(\frac{\varphi}{a}\right)^2}$$.

Resolver inecuaciones suele ser parecido al manejo de ecuaciones. Aquí tienes algunos pasos importantes:

• Descompón inecuaciones con valor absoluto en casos posibles.
• Aplica operaciones que mantengan la dirección de la desigualdad.
• Expresa la solución en notación de intervalos observando las restricciones del dominio.

a) Resuelve $$|x-2| \leq 3x - 9$$

• Primero, considera dos casos debido al valor absoluto:
• Caso 1: $$x - 2 \leq 3x - 9$$. Simplifica: $$-2 + 9 \leq 3x - x$$ o $$x \geq \frac{11}{2}$$.
• Caso 2: $$x - 2 \geq -(3x - 9)$$. Simplifica: $$x - 2 \geq -3x + 9$$.
• Continúa con $$4x \geq 11$$ o $$x \geq \frac{11}{4}$$.
• La solución en el intervalo es $$(\frac{11}{2}, \infty)$$.

b) Resuelve $$|3x - 2| < |2x - 1|$$

• Considera las dos posibilidades del valor absoluto: $$3x - 2 < 2x - 1$$ o $$-(3x - 2) < 2x - 1$$.
• Resuelve ambas inecuaciones para x.
• Primero: $$3x - 2 < 2x - 1$$: simplifica a $$x < 1$$.
• Segundo: $$-3x + 2 < 2x - 1$$ simplifica a $$5x > 3$$, así $$x > \frac{3}{5}$$.
• Intersección: $$\left(\frac{3}{5}, 1\right)$$.

c) Resuelve $$|x + 1| + 2 \leq 8$$

• Simplifica: $$|x + 1| \leq 6$$.
• Considera casos: $$x+1 \leq 6$$ da $$x \leq 5$$; y $$x+1 \geq -6$$, $$x \geq -7$$.
• La solución en intervalos es $$[-7, 5]$$.