Página 102 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato
Movimiento armónico simple
Resolución Página 102 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato
Parte de la ecuación general del M.A.S. $$y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$$. Para obtener v(t) deriva una vez y para a(t) deriva otra vez. Recuerda que:
$$\frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t)$$ y $$\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t)$$. Luego usa $$v_{\max}=A\omega$$ para hallar la rapidez máxima y dibuja las ondas respetando amplitudes y período.
Datos
$$y(t) = 10\,\sin\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)\;\text{cm}$$
Forma general del M.A.S.: $$y(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$$ con A = 10 cm, ω = 5 rad/s.
1) Ecuaciones de velocidad y aceleración
- Velocidad: v(t) es la derivada de y(t) respecto del tiempo:
$$v(t) = \frac{dy}{dt} = 10\cdot 5\cos\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)$$
$$v(t) = 50\cos\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)\;\text{cm/s}$$ - Aceleración: a(t) es la derivada de v(t):
$$a(t) = \frac{dv}{dt} = 50\cdot(-5)\sin\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)$$
$$a(t) = -250\sin\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)\;\text{cm/s}^2$$
2) Gráficas de posición y velocidad vs. tiempo
- Posición y(t): es una onda sinusoidal de amplitud 10 cm, con frecuencia angular 5 rad/s y fase inicial π/2. Inicia en y(0) = 10 sin(π/2) = 10 cm (máximo) y luego desciende.
- Velocidad v(t): es una función coseno con amplitud 50 cm/s y la misma frecuencia angular 5 rad/s. Está desfasada 90° respecto de la posición. En t = 0:
$$v(0) = 50\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$
En las rejillas del libro debes trazar estas ondas sinusoidales, manteniendo mismo período T = 2π/5 s y las amplitudes señaladas.
3) Velocidad máxima del amortiguador
En M.A.S. la rapidez máxima es $$v_{\max} = A\omega$$. Con A = 10 cm y ω = 5 rad/s:
$$v_{\max} = 10\times 5 = 50\;\text{cm/s}$$
En unidades SI: 10 cm = 0,10 m, por lo que:
$$v_{\max} = 0{,}10\times 5 = 0{,}50\;\text{m/s}$$
Conclusión
- v(t) = 50 cos(5t + π/2) cm/s
- a(t) = −250 sin(5t + π/2) cm/s²
- Las gráficas son sinusoidales con mismo período y amplitudes 10 cm y 50 cm/s, desfasadas 90°.
- vmáx = 50 cm/s ≈ 0,50 m/s.
Contenido Página 102 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato
a) A partir de esta información, calculo de manera teórica los datos solicitados por el taller para ayudar al técnico al que se le descompuso es escáner.
La ecuación de la velocidad y aceleración para un tiempo t.
[Cuadrícula para cálculos]
Las gráficas de posición, velocidad versus tiempo.
[Cuadrícula para graficar posición y velocidad versus tiempo]
La velocidad máxima del amortiguador.
[Cuadrícula para determinar la velocidad máxima del amortiguador]