Página 126 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato

1. Planteamiento
Debemos hallar el campo eléctrico total en el origen (0,0) producido por tres cargas puntuales.

Constante de Coulomb: k = 9×10⁹ N·m²/C².

Posiciones y cargas:
P1(−5,0), q1 = 120 μC = 120×10⁻⁶ C
P2(5,0), q2 = −60 μC = −60×10⁻⁶ C
P3(0,4), q3 = −120 μC = −120×10⁻⁶ C

2. Campo debido a cada carga

Por q1:
Vector desde q1 al origen: r₁ = (0−(−5), 0−0) = (5,0) m, |r₁| = 5 m.
Magnitud: $$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = 9\times10^9 \frac{120\times10^{-6}}{25}$$
$$E_1 = 4{,}32\times10^4\ \text{N/C}$$
q1 es positiva, por lo que el campo en el origen apunta alejándose de q1, es decir, en la dirección de r₁ (hacia +x).
Entonces: E⃗₁ = (4,32×10⁴, 0) N/C.

Por q2:
r₂ = (0−5, 0−0) = (−5,0), |r₂| = 5 m.
Magnitud: $$E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\times10^9 \frac{60\times10^{-6}}{25} = 2{,}16\times10^4\ \text{N/C}$$
q2 es negativa, por lo que el campo en el origen apunta hacia la carga, es decir, hacia +x (hacia (5,0)).
Signo: E⃗₂ = (2,16×10⁴, 0) N/C.

Por q3:
r₃ = (0−0, 0−4) = (0,−4), |r₃| = 4 m.
Magnitud: $$E_3 = k \frac{|q_3|}{r_3^2} = 9\times10^9 \frac{120\times10^{-6}}{16}$$
$$E_3 = 6{,}75\times10^4\ \text{N/C}$$
q3 es negativa, así que el campo en el origen apunta hacia la carga, es decir, hacia +y (de (0,0) a (0,4)).
E⃗₃ = (0, 6,75×10⁴) N/C.

3. Suma vectorial

Componente en x:
E_x = 4,32×10⁴ + 2,16×10⁴ = 6,48×10⁴ N/C.

Componente en y:
E_y = 0 + 6,75×10⁴ = 6,75×10⁴ N/C.

Vector total:
$$\vec E_T = (6{,}48\times10^4\ ,\ 6{,}75\times10^4)\ \text{N/C}$$

Magnitud:
$$E_T = \sqrt{(6{,}48\times10^4)^2 + (6{,}75\times10^4)^2} \approx 9{,}39\times10^4\ \text{N/C}$$

Ángulo respecto al eje +x:
$$\theta = \tan^{-1}\left( \frac{6{,}75}{6{,}48} \right) \approx 46^\circ$$

Conclusión
El campo eléctrico en el origen es:
E⃗(0,0) ≈ (6,48×10⁴ i + 6,75×10⁴ j) N/C, de magnitud ≈ 9,4×10⁴ N/C, formando unos 46° sobre el eje x positivo.

1. Planteamiento
Debemos hallar el potencial eléctrico total en el origen debido a las tres cargas. El potencial es escalar y se suma algebraicamente.

Fórmula del potencial de una carga puntual:
$$V = k \frac{q}{r}$$
con k = 9×10⁹ N·m²/C².

Datos:
q1 = 120 μC = 120×10⁻⁶ C, r₁ = 5 m
q2 = −60 μC = −60×10⁻⁶ C, r₂ = 5 m
q3 = −120 μC = −120×10⁻⁶ C, r₃ = 4 m

2. Potencial debido a cada carga

Por q1:
$$V_1 = k \frac{q_1}{r_1} = 9\times10^9 \frac{120\times10^{-6}}{5}$$
$$V_1 = 2{,}16\times10^5\ \text{V}$$

Por q2:
$$V_2 = k \frac{q_2}{r_2} = 9\times10^9 \frac{-60\times10^{-6}}{5}$$
$$V_2 = -1{,}08\times10^5\ \text{V}$$

Por q3:
$$V_3 = k \frac{q_3}{r_3} = 9\times10^9 \frac{-120\times10^{-6}}{4}$$
$$V_3 = -2{,}70\times10^5\ \text{V}$$

3. Suma escalar

$$V_T = V_1 + V_2 + V_3$$
$$V_T = 2{,}16\times10^5 - 1{,}08\times10^5 - 2{,}70\times10^5$$
$$V_T = -1{,}62\times10^5\ \text{V}$$

Conclusión
El potencial eléctrico en el origen de coordenadas es:
V(0,0) ≈ −1,6×10⁵ V.

1. Planteamiento
Se pide el trabajo necesario para mover una carga de prueba q_f = 1 μC desde el origen hasta P3. El trabajo del campo depende de la diferencia de potencial:

$$W = q_f (V_i - V_f)$$
donde V_i es el potencial inicial (en el origen) y V_f el potencial final (en P3).

Del inciso (c) ya tenemos:
V(0,0) = V_origen = −1,62×10⁵ V.

Debemos calcular V en P3.

2. Potencial en P3
En P3(0,4) la carga q3 está en ese punto, por lo que su propia contribución al potencial se hace infinita (r = 0). En la práctica, el enunciado suele ignorar esa contribución para este cálculo, considerando solo q1 y q2 (o bien se interpreta que la carga de prueba se coloca muy cercana a P3 sin coincidir exactamente).

Tomemos la interpretación habitual de que el trabajo se calcula respecto a q1 y q2.

Distancias desde P3:

• De q1(−5,0) a P3(0,4): r_1f = √(5² + 4²) = √41 ≈ 6,40 m.
• De q2(5,0) a P3(0,4): r_2f = √(5² + 4²) = √41 ≈ 6,40 m.

Potencial en P3 debido a q1 y q2:

$$V_{1f} = k \frac{q_1}{r_{1f}} = 9\times10^9 \frac{120\times10^{-6}}{6{,}40} \approx 1{,}69\times10^5\ \text{V}$$

$$V_{2f} = k \frac{q_2}{r_{2f}} = 9\times10^9 \frac{-60\times10^{-6}}{6{,}40} \approx -8{,}44\times10^4\ \text{V}$$

Entonces:

$$V_{P3} \approx 1{,}69\times10^5 - 8{,}44\times10^4 = 8{,}46\times10^4\ \text{V}$$

3. Trabajo requerido
q_f = 1 μC = 1×10⁻⁶ C.

$$W = q_f (V_i - V_f) = 1\times10^{-6}(-1{,}62\times10^5 - 8{,}46\times10^4)$$
$$W = 1\times10^{-6}(-2{,}47\times10^5) \approx -0{,}247\ \text{J}$$

El signo negativo indica que el campo realiza el trabajo; es decir, no se requiere aporte de energía externa

Conclusión
Para mover una carga de 1 μC desde el origen hasta P3, el campo eléctrico realiza un trabajo de aproximadamente 0,25 J a favor del movimiento. Si se desea moverla lentamente (sin cambio de energía cinética), una fuerza externa debería realizar +0,25 J en sentido opuesto al campo.