Página 61 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato

1. Datos del problema

• Masa esfera amarilla: 150 g = 0,150 kg
• Masa esfera blanca: 180 g = 0,180 kg
• La esfera amarilla recorre 1 m hasta el orificio en 0,35 s después del choque.
• Ángulo de la trayectoria de la amarilla con el eje +x: 31°.

2. Velocidad de la esfera amarilla tras el choque

Velocidad media (aproximamos a velocidad constante):

$$v_a = \frac{1\,\text{m}}{0{,}35\,\text{s}} \approx 2{,}86\,\text{m/s}$$

3. Componentes de la velocidad de la esfera amarilla

Tomamos eje x horizontal hacia la derecha y eje y vertical hacia arriba.

$$v_{ax} = v_a \cos 31^\circ \approx 2{,}86 \cdot 0{,}857 \approx 2{,}45\,\text{m/s}$$
$$v_{ay} = v_a \sin 31^\circ \approx 2{,}86 \cdot 0{,}515 \approx 1{,}47\,\text{m/s}$$

4. Conservación de la cantidad de movimiento

Antes del choque, solo se mueve la blanca, en la dirección del eje x (según la figura). Llamemos $$v_{b0}$$ su rapidez inicial y $$v_{bx}, v_{by}$$ las componentes de su velocidad después del choque. La velocidad de la blanca posterior al choque forma 28° con el eje x (según la figura).

Como no se dan más datos (por ejemplo la velocidad inicial de la blanca), con la información visible solo podemos escribir las ecuaciones vectoriales:

Eje x:

$$m_b v_{b0} = m_b v_b \cos 28^\circ + m_a v_a \cos 31^\circ$$

Eje y: antes del choque la cantidad de movimiento en y es cero, por lo que

$$0 = m_b v_b \sin 28^\circ - m_a v_a \sin 31^\circ$$

De la ecuación en y despejamos la rapidez de la esfera blanca después del choque:

$$m_b v_b \sin 28^\circ = m_a v_a \sin 31^\circ$$

$$v_b = \frac{m_a v_a \sin 31^\circ}{m_b \sin 28^\circ}$$

Sustituimos valores:

$$v_b = \frac{0{,}150 \cdot 2{,}86 \cdot \sin 31^\circ}{0{,}180 \cdot \sin 28^\circ}$$

$$\sin 31^\circ \approx 0{,}515,\quad \sin 28^\circ \approx 0{,}469$$

$$v_b \approx \frac{0{,}150 \cdot 2{,}86 \cdot 0{,}515}{0{,}180 \cdot 0{,}469}$$

$$v_b \approx \frac{0{,}221}{0{,}0844} \approx 2{,}62\,\text{m/s}$$

5. Conclusión

La rapidez de la esfera blanca posterior al choque es aproximadamente:

v_b ≈ 2,6 m/s, formando 28° con la dirección del eje x.