Página 10 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Leyes de Potenciación
Resolución Página 10 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Datos para la resolución:
Recuerda que la división se representa con los símbolos "/" o "÷" y responde a la pregunta: ¿cuántas veces cabe el divisor en el dividendo? Si tienes, por ejemplo, 12 galletas y las repartes entre 3 personas, realizas la operación 12 ÷ 3 = 4, lo que significa que cada persona recibirá 4 galletas.
Explicación
Análisis de la pregunta: Se solicita explicar, con lenguaje matemático, qué operación describe la acción de dividir alimentos en porciones iguales.
Resolución paso a paso:
- Cuando algo se reparte en partes iguales, cada parte debe tener la misma cantidad.
- El proceso que garantiza esa igualdad se describe mediante la división. En la división se parte de una cantidad total (dividendo) y se reparte en un número determinado de partes (divisor) para obtener la cantidad que corresponde a cada parte (cociente).
Conclusión / Respuesta final: Matemáticamente, repartir alimentos en raciones iguales equivale a dividir la cantidad total de alimentos entre el número de raciones, obteniendo así la misma cantidad para cada una.
Datos para la resolución:
Revisa la ley de signos para multiplicación:
- Signos iguales → resultado positivo.
- Signos diferentes → resultado negativo.
Además, recuerda que elevar a un exponente significa multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. Un truco útil es:
$$\text{si } n \text{ es par y la base es negativa} \;\Rightarrow\; \text{resultado positivo}$$
$$\text{si } n \text{ es impar y la base es negativa} \;\Rightarrow\; \text{resultado negativo}$$
Explicación
Análisis del ejercicio: Debemos calcular potencias con exponente natural aplicando la ley de signos: signo positivo si la base es positiva o la base negativa con exponente par; signo negativo si la base es negativa con exponente impar.
Resolución paso a paso:
- $$(+4)^3 = +4 \times +4 \times +4 = 64$$
- $$(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$$ (cinco factores negativos dan resultado negativo).
- $$(-1)^4 = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = +1$$ (cuatro factores negativos dan resultado positivo).
- $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$
Conclusión / Respuesta final:
- (+4)³ = 64
- (−2)⁵ = −32
- (−1)⁴ = 1
- (+1 ⁄ 2)³ = 1 ⁄ 8
Datos para la resolución:
Para crear tu propio ejercicio sigue estos pasos:
- Elige letras diferentes de a y valores de exponente sencillos (por ejemplo, 2, 3, 4).
- Aplica la ley correspondiente y simplifica el resultado.
Ejemplo guía para la primera ley: Toma $$x^2 \cdot x^3$$, suma los exponentes y obtén $$x^5$$. Ahora intenta con otras bases y exponentes.
Explicación
Análisis de la actividad: Se debe proponer un ejercicio por cada ley de potenciación y resolverlo, completando la columna «Ejercicio» del cuadro.
Propuesta de ejercicios completos:
| Ley | Ejercicio propuesto | Solución |
|---|---|---|
| $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ | $$b^5 \cdot b^2$$ | $$b^{5+2}=b^7$$ |
| $$(a^m)^n = a^{m\times n}$$ | $$(c^3)^4$$ | $$c^{3\times4}=c^{12}$$ |
| $$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ | $$d^8 : d^3$$ | $$d^{8-3}=d^5$$ |
| $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ | $$(xy)^3$$ | $$x^3 y^3$$ |
| $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$$ | $$\left(\dfrac{m}{n}\right)^2$$ | $$\dfrac{m^2}{n^2}$$ |
Conclusión / Respuesta final: Tabla completada con un ejercicio y su solución para cada ley de potenciación.
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Tema 3. Leyes de potenciación
Respondo la siguientes pregunta.
¿Matemáticamente que entiende cuando se pide repartir unos alimentos en raciones iguales?
Definición
La potencia de exponente natural de un número entero es igual a multiplicar dicho número por sí mismo tantas veces como indique el exponente, y su signo depende del signo de la base.
Los productos de la forma $$(-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5)$$ se refleja en notación $$(-5)^4 = 625$$.
1. Completo los ejercicios de potencia, me guío del ejemplo.
$$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$$
$$(+4)^3$$ …
$$(-2)^5$$ …
$$(-1)^4$$ …
$$\left( \tfrac{1}{3} \right)^2$$ …
Ley de signos
| Signos iguales = positivo | |||
|---|---|---|---|
| + | × | + | = + |
| - | × | - | = + |
| Signos diferentes = negativo | |||
| + | × | - | = - |
| - | × | + | = - |
Dato curioso
Las potencias se pueden comprobar a partir de leyes, propiedades.
2. Analizo las leyes de las potencias y completo el cuadro con 1 ejercicio.
| Leyes | Ejemplo | Ejercicio |
|---|---|---|
| $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ | $$a^3 \cdot a^{-2} = a^{3+(-2)} = a^1$$ | … |
| $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$ | $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$ | … |
| $$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ | $$\dfrac{a^3}{a^7}=a^{3-7}=a^{-4}=\dfrac{1}{a^4}$$ | … |
| $$(ab)^m = a^m \times b^m$$ | $$(ab)^{-2}=a^{-2} \times b^{-2}$$ | … |
| $$\left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$$ | $$\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-3}=\dfrac{a^{-3}}{b^{-3}}$$ | … |