Página 122 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que:

• En un rombo las diagonales se cortan en ángulo recto y se bisecan mutuamente.
• Para el área usa $$A=\frac{d_1d_2}{2}$$.
• Para hallar el lado, aplica el teorema de Pitágoras al triángulo formado por las semidiagonales.
• La "mitad del rombo" corresponde a uno de los triángulos obtenidos al trazar una de sus diagonales.

Análisis del problema: Se conoce la longitud de ambas diagonales del rombo. Primero se determina el área y el lado del rombo completo; luego se calcula la mitad de su área y el perímetro de uno de los triángulos que constituyen esa mitad.

Resolución paso a paso:

1. Calcular la diagonal menor.
   $$d_2 = \frac{1}{3}\,d_1 = \frac{1}{3}\,(15\text{ cm}) = 5\text{ cm}$$
2. Calcular el área del rombo.
   El área de un rombo se obtiene con la fórmula
   $$A = \frac{d_1\,d_2}{2}$$
   $$A = \frac{15\,\text{cm}\times 5\,\text{cm}}{2}=\frac{75}{2}\text{ cm}^2=37{,}5\text{ cm}^2$$
3. Área de la mitad del rombo.
   $$A_{\text{mitad}} = \frac{37{,}5}{2}=18{,}75\text{ cm}^2$$
4. Calcular la longitud de un lado del rombo.
   Las diagonales se bisecan perpendicularmente, por lo que cada media diagonal forma un triángulo rectángulo de catetos $$\tfrac{d_1}{2}=7{,}5\text{ cm}$$ y $$\tfrac{d_2}{2}=2{,}5\text{ cm}$$.
   $$s=\sqrt{\left(7{,}5\right)^2+\left(2{,}5\right)^2}=\sqrt{56{,}25+6{,}25}=\sqrt{62{,}5}\approx7{,}906\text{ cm}$$
5. Perímetro de la mitad del rombo (un triángulo formado por dos lados del rombo y la diagonal mayor).
   $$P_{\text{mitad}} = 2s + d_1 = 2(7{,}906) + 15 \approx 30{,}8\text{ cm}$$

Conclusión:
• Área de la mitad del rombo: 18,75 cm².
• Perímetro de la mitad del rombo: ≈ 30,8 cm.

La superficie amarilla es un rectángulo completo menos el área del triángulo verde interno.

• Calcula primero el área total del rectángulo (base × altura).
• Luego determina el área del triángulo con $$\frac{bh}{2}$$.
• Sustrae ambos valores para obtener la región restante.

Análisis del problema: El rectángulo ABCD mide 8 cm de ancho y 5 cm de alto. Dentro de él se ha dibujado un triángulo verde cuyos vértices son los dos puntos inferiores (A y D) y el punto medio del lado superior (llamémoslo M). La región amarilla es el rectángulo menos el triángulo verde.

Resolución paso a paso:

1. Área del rectángulo.
   $$A_{\text{rect}} = \text{base} \times \text{altura} = 8\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2$$
2. Área del triángulo verde.
   – Base $$b = 8\,\text{cm}$$
   – Altura $$h = 5\,\text{cm}$$
   $$A_{\triangle}=\frac{b\,h}{2}=\frac{8\times5}{2}=20\,\text{cm}^2$$
3. Área de la región amarilla.
   $$A_{\text{amarilla}} = A_{\text{rect}} - A_{\triangle}=40-20=20\,\text{cm}^2$$

Conclusión: El área solicitada es 20 cm².

Recuerda que el área de un triángulo equilátero depende solo de su lado $$a$$:

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

• Despeja $$a^2$$ multiplicando por 4 y dividiendo por √3.
• Luego aplica la raíz cuadrada para encontrar $$a$$.

Análisis del problema: Se dispone del área de un triángulo equilátero y se desea encontrar la medida de su lado.

Resolución paso a paso:

1. Fórmula del área para un triángulo equilátero:
   $$A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ donde $$a$$ es la longitud del lado.
2. Igualar a 9√3 y resolver para $$a$$.
   $$9\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
3. Multiplicar ambos lados por 4.
   $$36\sqrt{3}=\sqrt{3}\,a^2$$
4. Dividir entre √3.
   $$36=a^2$$
5. Extraer raíz cuadrada.
   $$a=\sqrt{36}=6\text{ cm}$$

Conclusión: El lado del triángulo equilátero mide 6 cm.