Página 14 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que cuadrar un número (multiplicarlo por sí mismo) siempre produce un valor positivo. Revisa la definición de conjunto de los números reales y diferencia entre conjuntos numéricos para notar cuándo aparece la unidad imaginaria $$i$$.

Análisis de la pregunta: Se pide explicar la imposibilidad de hallar la raíz cuadrada de un número negativo dentro del conjunto de los números reales.

Explicación paso a paso:

1. En los números reales, la raíz cuadrada de un número $$a$$ se define como otro número real $$x$$ tal que $$x^2 = a$$.
2. Cuando $$a$$ es negativo ($$a < 0$$), no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, ya que:
   • Si $$x > 0$$, entonces $$x^2 > 0$$.
   • Si $$x < 0$$, entonces $$x^2 > 0$$ (el cuadrado de un negativo sigue siendo positivo).
3. Por ello, no hay solución real para $$x^2 = -k$$ con $$k>0$$. Solo en un sistema numérico más amplio (los números complejos) se introduce la unidad imaginaria $$i$$, definida por $$i^2=-1$$, para dar sentido a esas raíces.

Conclusión / Respuesta final: En el conjunto de los números reales no existen raíces cuadradas de números negativos, porque ningún número real al cuadrado puede generar un resultado negativo.

Intenta introducir $$-25$$ y luego presionar la tecla √ en una calculadora científica: compara el mensaje que aparece con otras raíces como $$\sqrt{25}=5$$.

Análisis: Alex obtuvo $$-5$$ como resultado para $$\sqrt{-25}$$. Debemos verificar si eso es posible en los números reales.

Resolución paso a paso:

1. La operación solicitada es la raíz cuadrada de $$-25$$.
2. En los números reales, la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (ver explicación anterior).
3. Una calculadora científica común mostrará "ERROR" o "Math Error" al intentar la operación.

Conclusión / Respuesta final: El resultado $$-5$$ es incorrecto. En números reales no existe $$\sqrt{-25}$$; la calculadora debe indicar error.

Dibuja una recta numérica y localiza puntos enteros, fracciones como $$\tfrac{1}{2}$$ y raíces como $$\sqrt{3}$$ para visualizar qué tan amplio es $$\mathbb{R}$$.

Análisis: Se requiere definir el conjunto de números reales.

Definición y explicación: El conjunto de números reales ($$\mathbb{R}$$) reúne todos los números que pueden ubicarse en la recta numérica. Incluye:

• Números naturales ($$\mathbb{N}$$): 0, 1, 2, 3, …
• Enteros ($$\mathbb{Z}$$): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, …
• Racionales ($$\mathbb{Q}$$): fracciones o decimales periódicos, ej. $$\tfrac{3}{4},\,-2.5$$
• Irracionales: decimales infinitos no periódicos, ej. $$\sqrt{2},\,\pi$$

Cualquier medición continua (longitud, tiempo, masa) se expresa con un número real.

Conclusión / Respuesta final: Los números reales son todos aquellos que pueden situarse en la recta numérica, abarcando naturales, enteros, racionales e irracionales.

Identifica las teclas disponibles en tu calculadora escolar: si ves sin, cos, log, teclas de raíz $$n$$-ésima, estás usando una científica.

Análisis: Se solicita clasificar o mencionar los tipos de calculadoras.

Explicación:

• Calculadora básica: realiza operaciones elementales (suma, resta, producto, división).
• Calculadora científica: añade funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y manejo de notación científica.
• Calculadora gráfica: además de las funciones científicas, grafica ecuaciones y analiza datos estadísticos.
• Calculadora financiera: especializada en cálculos de interés compuesto, anualidades, valor presente, etc.
• Apps o software de cálculo: versiones para dispositivos móviles o computadoras con amplias funcionalidades (por ejemplo, GeoGebra, Wolfram Alpha).

Conclusión / Respuesta final: Existen calculadoras básicas, científicas, gráficas, financieras y aplicaciones de software, cada una diseñada para necesidades específicas.

Observa la notación $$\sqrt[n]{a}$$: el número n se llama índice, el símbolo √ es el radical y a es el radicando.

Análisis: Se requiere definir el concepto matemático de raíz.

Definición: La raíz n-ésima de un número $$a$$ (con $$n \in \mathbb{N}, n \ge 2$$) es otro número $$b$$ que, elevado a la potencia $$n$$, reproduce a $$a$$:

$$\sqrt[n]{a}=b \;\;\Longleftrightarrow\;\; b^n = a$$

Si $$n=2$$ se llama raíz cuadrada; si $$n=3$$, raíz cúbica, y así sucesivamente.

Conclusión / Respuesta final: Una raíz es la operación inversa de la potenciación: busca el número que, elevado al exponente correspondiente, produce el radicando.

Verifica tu calculadora: algunas permiten cambiar al modo complejo (a+bi). Si lo activas, obtendrás $$5i$$ en lugar de "ERROR".

Análisis: Se refiere al mensaje "ERROR" que la calculadora muestra al intentar $$\sqrt{-25}$$.

Explicación:

1. La calculadora trabaja por defecto en números reales.
2. La raíz cuadrada de un número negativo no está definida en $$\mathbb{R}$$.
3. Para prevenir un resultado no real, el dispositivo emite un mensaje de "ERROR" o "Math Error".

Conclusión / Respuesta final: Aparece "ERROR" porque la operación solicitada ($$\sqrt{-25}$$) no tiene solución en los números reales, que es el modo estándar de la calculadora.

Antes de resolver, analiza dos aspectos clave:

• Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no existe en los números reales.
• Cuando el radicando es una potencia exacta del índice (por ejemplo $$2^3$$ bajo raíz cúbica), la respuesta es directa.

Para aproximar raíces cúbicas de fracciones que no son potencias perfectas, usa la función raíz cúbica (∛) de tu calculadora o la tecla y^1/3. Redondea según el número de decimales que te pidan.

Análisis general: Debemos calcular raíces para seis expresiones. Cuando el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no existe en los números reales. Para índices impares, sí hay resultado real.

1. Ejercicio 1: $$\sqrt[3]{-125}$$
   Como el índice es 3 (impar): $$(-5)^3=-125$$.
   Respuesta: $$-5$$
2. Ejercicio 2: $$\sqrt{-243}$$
   Índice 2 (par) y radicando negativo → no hay raíz real.
   Respuesta: No existe en $$\mathbb{R}$$
3. Ejercicio 3: $$\sqrt{-750}$$
   Nuevamente índice par con radicando negativo → no existe raíz real.
   Respuesta: No existe en $$\mathbb{R}$$
4. Ejercicio 4: $$\sqrt{36}$$
   La raíz cuadrada principal de 36 es 6.
   Respuesta: 6
5. Ejercicio 5: $$\sqrt[3]{\dfrac{8}{343}}$$
   Descomponemos: $$8=2^3,\;343=7^3$$ ⇒
   $$\sqrt[3]{\dfrac{8}{343}}=\dfrac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{7^3}}=\dfrac{2}{7}$$
   Respuesta: $$\dfrac{2}{7}$$
6. Ejercicio 6: $$\sqrt[3]{\dfrac{987}{73}}$$
   No hay potencias perfectas. Aproximamos:
   $$\dfrac{987}{73}\approx13.5205$$
   $$\sqrt[3]{13.5205}\approx2.38$$ (redondeado a dos decimales).
   Respuesta: ≈ 2.38