Página 15 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que un rectángulo y su diagonal forman un triángulo rectángulo. Identifica:

• Lado 1 (largo): $$L=2\sqrt{362}$$
• Lado 2 (ancho): desconocido (W)
• Hipotenusa (diagonal): $$D=3\sqrt{9\,878}$$

Aplica $$D^{2}=L^{2}+W^{2}$$, despeja W y luego multiplica L × W para obtener el área.

Para simplificar radicales, usa la propiedad $$\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$ y, si conviene, factoriza números grandes para extraer cuadrados perfectos.

Análisis del problema

Se conoce la longitud L y la diagonal D de un rectángulo (pantalla). Para hallar su área necesitamos conocer la otra dimensión W (ancho). El Teorema de Pitágoras en un rectángulo establece:

$$D^{2}=L^{2}+W^{2}$$

Resolución paso a paso

1. Planteamos las medidas dadas:
   $$L = 2\sqrt{362}\;\text{m}$$
   $$D = 3\sqrt{9\,878}\;\text{m}$$
2. Calculamos los cuadrados de las magnitudes radicales:
   $$L^{2}=(2\sqrt{362})^{2}=4\cdot362=1\,448$$
   $$D^{2}=(3\sqrt{9\,878})^{2}=9\cdot9\,878=88\,902$$
3. Hallamos W² aplicando Pitágoras:
   $$W^{2}=D^{2}-L^{2}=88\,902-1\,448=87\,454$$
4. Extraemos la raíz cuadrada para encontrar el ancho:
   $$W=\sqrt{87\,454}\;\text{m}$$
5. Calculamos el área A:
   $$A=L\cdot W=\bigl(2\sqrt{362}\bigr)\,\bigl(\sqrt{87\,454}\bigr)\;\text{m}^{2}$$
   Esta expresión es la forma exacta. En forma aproximada:
   $$L\approx38.05\;\text{m},\;W\approx295.7\;\text{m}$$
   $$A\approx38.05\times295.7\approx11\,245\;\text{m}^{2}$$

Conclusión

El área exacta de la pantalla es $$A = 2\sqrt{362}\;\sqrt{87\,454}\;\text{m}^{2}$$; aproximadamente, 11 245 m².

Para un cuadrado o rectángulo cuyos lados son iguales, el área se calcula con:

$$A=\text{lado}^{2}$$

Cuando el lado está dado como una fracción con radical, recuerda:

• $$\left(\dfrac{p}{q}\right)^{2}=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}$$
• $$(\sqrt{b})^{2}=b$$

Aplica ambas reglas, multiplica los números y simplifica la fracción final si es posible.

Análisis del problema

El rectángulo tiene ambos lados de la misma longitud indicada (por el enunciado se interpreta que el terreno es un cuadrado). Para hallar el área basta con elevar al cuadrado la medida de un lado.

Resolución paso a paso

1. $$\text{Lado}=\dfrac{\sqrt{82a}}{2}\;\text{m}$$
2. El área de un cuadrado es:
   $$A=\bigl(\text{Lado}\bigr)^{2}=\left(\dfrac{\sqrt{82a}}{2}\right)^{2}$$
3. Elevamos al cuadrado:
   $$A=\dfrac{(\sqrt{82a})^{2}}{2^{2}}=\dfrac{82a}{4}$$
4. Simplificamos la fracción:
   $$A=\dfrac{41a}{2}\;\text{m}^{2}$$

Conclusión

El área total del terreno es $$A=\dfrac{41a}{2}\;\text{m}^{2}$$.