Página 152 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• La moda es la medida de tendencia central que indica el dato con mayor frecuencia.
• Revisa la fila N (días) y localiza el valor máximo.
• Relaciona ese valor máximo con la temperatura correspondiente.
• Explica que la moda representa la temperatura más común en el mes.

Análisis del problema: Debemos identificar cuál de las temperaturas registradas aparece con mayor frecuencia en la tabla y explicar su significado.

Resolución paso a paso:

1. De la tabla, las frecuencias de cada temperatura (en °C) son:
   20,5 → 2 días; 20 → 4 días; 19,5 → 3 días; 19 → 13 días; 18,5 → 3 días; 18 → 4 días; 17,5 → 2 días.
2. La frecuencia más alta es 13, correspondiente a 19 °C.

Conclusión / Respuesta final:
La moda de temperaturas es 19 °C y significa que 19 °C fue la temperatura que más veces se presentó en el mes de marzo (13 días).

• Usa la fórmula de la media ponderada:
$$\bar x = \dfrac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$$
• Multiplica cada temperatura por su número de días, suma esos productos y divide por el total de días.
• Interpreta la media como “temperatura promedio” del conjunto de datos.

Análisis del problema: Calcular la media (promedio) ponderada de las temperaturas registradas y explicar su significado.

Resolución paso a paso:

1. Sumamos el producto de cada temperatura por su frecuencia:
   $$\sum (T \times N) = 20.5\times2 + 20\times4 + 19.5\times3 + 19\times13 + 18.5\times3 + 18\times4 + 17.5\times2 = 589$$
2. Calculamos el total de observaciones:
   $$N_{\text{total}} = 31$$
3. Aplicamos la fórmula de la media ponderada:
   $$\bar x = \dfrac{\sum (T \times N)}{N_{\text{total}}} = \dfrac{589}{31} = 19$$

Conclusión / Respuesta final:
La media de temperaturas es 19 °C y significa que si todas las temperaturas registradas se distribuyeran equitativamente, cada día habría tenido en promedio 19 °C.

• Ordena los datos con sus frecuencias.
• La posición de la mediana se calcula como $$\dfrac{n+1}{2}$$ cuando n es impar.
• Busca en qué intervalo de la frecuencia acumulada aparece esa posición.
• Interpreta la mediana como “valor central” de la distribución.

Análisis del problema: Determinar la mediana (valor central) del conjunto de 31 observaciones y explicar su sentido.

Resolución paso a paso:

1. Ordenamos las temperaturas de menor a mayor teniendo en cuenta su frecuencia acumulada.
   Cálculo de frecuencias acumuladas:
   16? (no existe), 17,5→2; 18→4 (acum 6); 18,5→3 (acum 9); 19→13 (acum 22); 19,5→3 (acum 25); 20→4 (acum 29); 20,5→2 (acum 31).
2. Con 31 datos, la posición de la mediana es:
   $$\dfrac{31+1}{2}=16^{\text{a}}$$ observación.
3. La 16.ª observación se encuentra dentro del bloque de temperatura 19 °C (porque al llegar a 19 °C llevamos 22 datos acumulados).

Conclusión / Respuesta final:
La mediana de temperaturas es 19 °C y significa que la mitad de los días tuvo temperaturas iguales o inferiores a 19 °C y la otra mitad iguales o superiores a 19 °C.

• Vuelve a calcular la tabla con la corrección (quita un 20,5 °C y añade un 16 °C).
• Repite los pasos para moda, media y mediana.
• Observa que añadir un valor extremo bajo afecta principalmente a la media.
• La moda depende solo de la frecuencia más alta y la mediana de la posición central; si esas posiciones no se alteran, permanecen iguales.

Análisis del problema: Debemos sustituir un dato erróneo (20,5 °C) por el valor real (16 °C) y analizar si moda, media y mediana cambian.

Resolución paso a paso:

1. Ajuste de frecuencias:
   • La frecuencia de 20,5 °C pasa de 2 a 1.
   • Se añade 16 °C con frecuencia 1.
   • El total sigue siendo 31 observaciones.
2. Nueva moda:
   19 °C continúa teniendo 13 ocurrencias, la más alta. No cambia.
3. Nueva mediana:
   Las frecuencias acumuladas ordenadas dan:
   16→1; 17,5→3; 18→7; 18,5→10; 19→23… La 16.ª observación sigue estando en 19 °C. No cambia.
4. Nueva media:
   Se corrige la suma:
   $$589 - 20.5 + 16 = 584.5$$
   Luego:
   $$\bar x_{\text{nueva}} = \dfrac{584.5}{31} \approx 18.85$$
   La media sí cambia, bajando de 19 °C a ≈ 18,85 °C.

Conclusión / Respuesta final:
• Moda: permanece en 19 °C.
• Mediana: permanece en 19 °C.
• Media: desciende a aproximadamente 18,85 °C, por lo que solo la media se ve afectada por el error.