Página 153 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista:

• El rango solo necesita el valor más grande y el más pequeño.
• Para la varianza y la desviación estándar usa estos pasos:
  1. Calcula la media ($$\bar x$$).
  2. Resta la media a cada dato y eleva al cuadrado.
  3. Suma todos esos cuadrados.
  4. Divide entre el número de datos (varianza poblacional) o entre N−1 (varianza muestral).
  5. Extrae la raíz cuadrada para la desviación estándar.
• Recuerda que la unidad de la varianza es el cuadrado de la unidad original, mientras que la desviación estándar vuelve a la unidad original.

Análisis del problema
Se solicitan tres medidas de dispersión para un conjunto de 25 datos (edades): el rango, la varianza y la desviación estándar.

1. Rango
   Máximo = 14, mínimo = 11 ⇒ Rango = 14 − 11 = 3 años.
2. Varianza (poblacional)
   Paso 1: Calcular la media.
   $$\bar x = \frac{\sum x_i}{N}=\frac{313}{25}=12.52$$
   Paso 2: Hallar las desviaciones cuadráticas y sumarlas.
   $$\sum (x_i-\bar x)^2 = 34.24$$
   Paso 3: Dividir por N.
   $$\sigma^2 = \frac{34.24}{25}=1.3696$$
   Varianza ≈ 1.37 años².
3. Desviación estándar
   $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1.3696}\approx 1.17$$
   Desviación estándar ≈ 1.17 años.

Conclusión
Rango = 3, varianza ≈ 1.37 años², desviación estándar ≈ 1.17 años.

Pista: piensa en el rango como la longitud del segmento que abarcaría todos los valores si los pusieras en una recta numérica. Solo necesitas restar el menor dato al mayor.

Respuesta: El rango es la medida de dispersión más sencilla. Representa la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. Indica, por lo tanto, el intervalo total en el que se distribuyen los datos.

Pista: recuerda que la desviación estándar mide la dispersión. Relaciona su valor con la anchura de la "nube" de puntos alrededor de la media.

Respuesta: La desviación estándar indica, en promedio, cuán alejados están los datos de su media aritmética. Un valor pequeño significa que los datos están muy concentrados alrededor de la media; un valor grande implica que los datos están más dispersos.

Pista: reflexiona sobre tu propio proceso de aprendizaje y piensa en ejemplos cotidianos (por ejemplo, evaluar si las calificaciones de tu clase son homogéneas o si la temperatura diaria varía mucho).

• ¿Qué he aprendido?
  He aprendido a calcular y a interpretar medidas de dispersión (rango, varianza, desviación estándar).
• ¿Cómo lo he aprendido?
  A través de la resolución paso a paso de un problema real, aplicando las fórmulas y reflexionando sobre los resultados.
• ¿Para qué me ha servido?
  Para entender la importancia de comparar la variabilidad de distintos conjuntos de datos y fundamentar decisiones basadas en datos.
• ¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?
  En análisis de resultados de experimentos, evaluación de calificaciones, estudios demográficos, control de calidad y cualquier situación donde necesite medir la consistencia de los datos.