Página 17 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda:
• El símbolo "≤" significa incluye el valor límite.
• Cuando un valor está incluido, se usa corchete "]" en el extremo correspondiente del intervalo y un punto cerrado en el gráfico.
• Usa "−∞" para indicar que no hay límite inferior y recuerda que el infinito nunca se encierra con corchete.

Análisis del problema:
La desigualdad $$x\le 5$$ indica todos los números reales menores o iguales a 5.

Resolución paso a paso:

1. Al interpretar la desigualdad, incluimos el 5 porque el símbolo es "≤" (menor o igual).
   $$x\le 5\;\Longrightarrow\;(-\infty,5]$$
2. Representación gráfica:
   • Dibuja una recta numérica.
   • Ubica el punto 5 y márcalo con un círculo relleno (punto cerrado) para indicar inclusión.
   • Traza una flecha hacia la izquierda para cubrir todos los valores menores que 5.

Conclusión / Respuesta final:
Intervalo: $$(-\infty,5]$$. En la recta numérica, punto cerrado en 5 con flecha hacia −∞.

• Usa paréntesis "(" cuando el extremo NO se incluye.
• Usa corchete "]" cuando el extremo SÍ se incluye.
• El intervalo se escribe siempre menor → mayor.

Análisis del problema:
La desigualdad compuesta $$2<x\le9$$ describe los números mayores que 2 y menores o iguales que 9.

Resolución paso a paso:

1. El límite inferior (2) no se incluye porque el símbolo es "<".
   El límite superior (9) sí se incluye porque es "≤".
   $$(2,9]$$
2. Representación gráfica:
   • En la recta numérica, coloca un círculo abierto en 2 y uno cerrado en 9.
   • Sombrea el segmento entre 2 y 9.

Conclusión / Respuesta final:
Intervalo: $$(2,9]$$; círculo abierto en 2, cerrado en 9.

Cuando el límite superior es infinito ($$\infty$$):
• Siempre se coloca paréntesis ")" porque el infinito no es un número al que se pueda llegar exactamente.

Análisis del problema:
$$x\ge -1$$ abarca todos los números mayores o iguales a −1.

Resolución paso a paso:

1. Incluimos −1, por lo tanto:
   $$[-1,\infty)$$
2. Representación gráfica:
   • Punto cerrado en −1.
   • Flecha hacia la derecha indicando valores mayores.

Conclusión / Respuesta final:
Intervalo: $$[-1,\infty)$$.

Los símbolos "<" y ">" obligan a usar paréntesis en ambos extremos del intervalo y círculos abiertos en la gráfica.

Análisis del problema:
Se piden los valores entre −5 y −1 sin incluir ninguno de los dos.

Resolución paso a paso:

1. Ambos límites llevan paréntesis porque son estrictamente menores:
   $$(-5,-1)$$
2. Representación gráfica:
   • Círculo abierto en −5 y en −1.
   • Sombrear el tramo intermedio.

Conclusión / Respuesta final:
Intervalo: $$(-5,-1)$$.

Pasos clave para resolver problemas de presupuesto:

1. Identifica los costos fijos (lo que siempre se compra).
2. Escribe la expresión del gasto variable (precio × cantidad).
3. Plantea la desigualdad "gasto total ≤ presupuesto".
4. Despeja la incógnita.
   $$\text{fijo} + (\text{precio variable})(\text{cantidad}) \le \text{presupuesto}$$
5. Representa la solución sobre una recta numérica; recuerda usar punto cerrado si el límite se incluye.

Análisis del problema:
Se trata de un problema de desigualdad lineal con una sola incógnita (número de gaseosas, g).

Resolución paso a paso:

1. Datos fijos: hamburguesa = $5, papas = $3.
   Total fijo = $$5+3=8$$.
2. Variable: cada gaseosa cuesta $2 → gasto en gaseosas = $$2g$$.
3. Planteo de la desigualdad:
   $$8 + 2g \le 20$$ (no debe sobrepasar $20).
4. Despeje:
   $$2g \le 20 - 8$$
   $$2g \le 12$$
   $$g \le 6$$
5. Interpretación: El número máximo entero de gaseosas es 6.
6. Representación gráfica:
   • Recta numérica desde 0.
   • Punto cerrado en 6 (incluye 6).
   • Flecha o sombreado hacia la izquierda hasta 0.

Conclusión / Respuesta final:
Juan puede comprar hasta 6 gaseosas para no exceder su presupuesto. La región solución es $$[0,6]$$ en la recta numérica.