Página 18 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que:

• Una función asocia a cada valor de la variable independiente exactamente un valor de la variable dependiente.
• Piensa en ejemplos cotidianos: el costo total depende de la cantidad de artículos comprados, la temperatura del día depende de la hora, etc.
• Identifica siempre quién depende de quién: la variable independiente se elige libremente, la dependiente se calcula.

Análisis de la pregunta: Se indaga sobre la relación de dependencia entre dos sucesos o variables.

Resolución paso a paso:

1. En Matemática, decir que una variable está “en función” de otra implica que su valor depende del valor que tome la primera. A esta relación se le llama función.
2. Cuando un suceso A solo ocurre, cambia o se cuantifica según el comportamiento de un suceso B, se afirma que A es función de B. El suceso B es la variable independiente y A la variable dependiente.
3. Ejemplo simple: la distancia recorrida (d) por un auto depende del tiempo (t) si mantiene velocidad constante. Se escribe d = v·t, y decimos que la distancia está en función del tiempo.

Conclusión / Respuesta final: Significa que los valores o la ocurrencia de un suceso dependen directamente de los valores o cambios de otro; es decir, existe una relación funcional donde uno actúa como variable independiente y el otro como variable dependiente.

Para responder:
• Piensa en la palabra “depender” cuando definas función.
• Recuerda que las coordenadas rectangulares se ubican con el mismo patrón que usas para jugar Batalla naval (horizontal x, vertical y).
• Relaciona cada forma de representación con ejemplos sencillos (ej. tabla de valores, línea recta en un gráfico).
• Cita aplicaciones reales: economía, física, climatología.

Análisis de las preguntas: Se solicitan definiciones y aplicaciones básicas de conceptos relacionados con funciones y coordenadas cartesianas.

Resolución paso a paso:

1. ¿Qué es una función?
   Es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto (variable independiente) exactamente un elemento de otro conjunto (variable dependiente). Matemáticamente se expresa f: X → Y.
2. ¿Qué son las coordenadas rectangulares?
   También llamadas coordenadas cartesianas, son pares ordenados (x, y) que indican la posición de un punto sobre dos ejes perpendiculares (eje x y eje y) que comparten un origen (0,0).
3. ¿Cómo se representan las funciones?
   • De forma algebraica, mediante ecuaciones (ej. y = 2x + 3).
   • De forma gráfica, trazando los pares (x, y) en el plano cartesiano.
   • De forma tabular, listando valores de x y sus correspondientes y.
   • Verbalmente, describiendo la relación en palabras.
4. ¿Cuándo se usan las funciones?
   Se usan para modelar fenómenos donde una magnitud depende de otra: crecimiento poblacional en función del tiempo, velocidad en función de la aceleración, costos en función de producción, variación de temperatura con la hora, entre muchos otros.

Conclusiones:
Las funciones y las coordenadas cartesianas permiten describir, analizar y predecir situaciones donde existe dependencia entre variables, utilizando múltiples formas de representación para facilitar la interpretación.

Pasos para resolverlo tú:

1. Identifica la variable independiente (e) y la dependiente (t).
2. Usa la expresión $$t = 5e$$ para hallar cada valor de t.
3. Llena la tabla sumando 5 en cada paso o multiplicando 5 por e.
4. Para graficar:
   • Eje x → tiempo.
   • Eje y → temperatura.
   • Marca cada par (e, t).
   • Une los puntos para ver la recta.

Verifica que todos los puntos mantengan la misma pendiente (cociente de cambio) $$m = 5$$.

Análisis del problema: Se entrega la regla funcional $$t = 5e$$. Debemos calcular la temperatura (t) para valores de tiempo (e) desde 1 hasta 10 y luego graficar los puntos en el plano.

Resolución paso a paso:

1. Para cada día e, sustituimos en la función.
   $$t = 5(1) = 5$$
   $$t = 5(2) = 10$$
   $$t = 5(3) = 15$$
   $$t = 5(4) = 20$$
   $$t = 5(5) = 25$$
   $$t = 5(6) = 30$$
   $$t = 5(7) = 35$$
   $$t = 5(8) = 40$$
   $$t = 5(9) = 45$$
   $$t = 5(10) = 50$$
2. Tabla completa:
   

   Tiempo (e)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   Temperatura (t)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

3. Representación gráfica:
   Se colocan los puntos (1,5), (2,10), (3,15), … , (10,50). Todos ellos se alinean formando una recta que pasa por el origen ampliado, lo que confirma la proporcionalidad directa entre e y t.

Conclusión / Respuesta final: La función genera una recta creciente de pendiente 5. Cada día que pasa, la temperatura aumenta 5 unidades según la regla dada.