Página 20 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Revisa las gráficas de cada función: observa la pendiente general de la curva.
• Si la gráfica sube de izquierda a derecha, la función es creciente.
• Si la gráfica baja de izquierda a derecha, la función es decreciente.

Anota la definición formal:
$$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \text{ (creciente)}$$
$$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \text{ (decreciente)}$$

Análisis de la pregunta: Se pide explicar cómo se distingue, de manera formal, una función creciente de una decreciente.

Resolución paso a paso:

1. Una función creciente es aquella en la que, al aumentar la variable independiente x, el valor de la función y = f(x) también aumenta.
2. En notación matemática, si $$x_1 < x_2$$ entonces $$f(x_1) < f(x_2).$$
3. Una función decreciente presenta el comportamiento opuesto: al aumentar x los valores de y disminuyen.
4. En notación matemática, si $$x_1 < x_2$$ entonces $$f(x_1) > f(x_2).$$

Conclusión / Respuesta final: La diferencia radica en la relación entre los valores de x y f(x): en una función creciente, f(x) aumenta con x; en una función decreciente, f(x) disminuye con x.

Compara los ejes y la forma de ambas curvas:
• Observa que los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) intercambian su orden en y cuando se refleja la curva.
• Piensa en la relación entre una función y su inversa: si inviertes los roles de x y y, la pendiente cambia de signo.

Pregúntate:
• ¿Qué ocurre si reflejo la gráfica en el eje y?
• ¿Y si aplico la transformación $$x \rightarrow -x$$ o $$y \rightarrow -y$$?

Análisis de la pregunta: Se requiere establecer si existe una conexión matemática entre la función que crece y la que decrece representadas en los gráficos.

Resolución paso a paso:

1. En muchos contextos, una función decreciente puede ser la inversa de una función creciente (o viceversa) cuando ambas comparten dominios y rangos compatibles.
   • Por ejemplo, si $$y = f(x)$$ es estrictamente creciente y alcanza todos los valores de su rango, la función inversa $$x = f^{-1}(y)$$ será estrictamente creciente respecto de su propia variable, pero aparecerá decreciente en un sistema de ejes intercambiado.
2. También pueden relacionarse por transformaciones (reflexión, traslación o escalamiento). Una reflexión respecto del eje y o del eje x puede convertir una gráfica creciente en decreciente.
3. En la imagen, la curva decreciente podría obtenerse reflejando la curva creciente respecto de un eje vertical si ambas comparten dominio positivo.

Conclusión / Respuesta final: Sí, las dos funciones pueden relacionarse mediante la operación de función inversa o mediante transformaciones geométricas (reflexiones) que convierten el crecimiento en decrecimiento y viceversa.