Página 26 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Para decidir si una proposición es tautología o contradicción, construye su tabla de verdad completa:

• Anota todas las combinaciones posibles de V y F para sus variables.
• Evalúa paso a paso los conectores ($$\neg, \wedge, \vee, \to, \leftrightarrow$$).
• Observa la columna final:
  • Si todos los resultados son V → es tautología.
  • Si todos los resultados son F → es contradicción.
  • Si hay mezcla de V y F, se llama contingencia.

Análisis de la pregunta
Se solicita la condición que debe cumplir una tabla de verdad para que una proposición compuesta se clasifique como tautología o como contradicción.

Resolución paso a paso

1. Una tabla de verdad muestra todos los valores posibles (V o F) de las variables proposicionales y el resultado final de la proposición compuesta.
2. Tautología: se presenta cuando, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus variables, el resultado final es Verdadero (V).
3. Contradicción: se presenta cuando, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus variables, el resultado final es Falso (F).

Conclusión / Respuesta final
Se dice que una tabla de verdad da como resultado una tautología cuando la proposición compuesta es verdadera en todas las filas de la tabla, y se dice que es una contradicción cuando es falsa en todas las filas.

Para convertir símbolos lógicos en lenguaje cotidiano:

• Proposición simple (p): Es una sola afirmación que puede ser verdadera o falsa.
• Conjunción (p ∧ q): Une dos proposiciones con «y»; ambas deben ser verdaderas para que el conjunto sea verdadero.
• Negación (~ p): Coloca «no» o «no es cierto que» delante de la proposición.
• Condicional (p → q): Use «Si …, entonces …»; la primera parte es la hipótesis (p) y la segunda la conclusión (q).
• Disyunción inclusiva (p ∨ q): Use «o» para unir dos afirmaciones; basta una verdadera para que el conjunto sea verdadero.

Piensa en enunciados reales, científicos o cotidianos, que ilustren cada conector. Comprueba que la estructura lógica coincida.

Análisis de la actividad
Se pide redactar en lenguaje común (enunciados cotidianos) proposiciones simples o compuestas que correspondan exactamente a las expresiones simbólicas dadas.

Resolución paso a paso

1. p
   Proposición simple. Ejemplo: «La educación es un derecho».
2. p ∧ q
   Conjunción. Ejemplo: «Galápagos es un archipiélago y Santa Elena es una península».
3. ~ p
   Negación. Ejemplo: «No es cierto que el Sol sea un planeta».
4. p → q
   Condicional. Ejemplo: «Si camina en la lluvia, entonces Juan se enferma de gripe».
5. p ∨ q
   Disyunción inclusiva. Ejemplo: «Los hombres son mortales o yo soy el príncipe de Egipto».

Conclusión / Respuesta final

• p: «La educación es un derecho»
• p ∧ q: «Galápagos es un archipiélago y Santa Elena es una península»
• ~ p: «No es cierto que el Sol sea un planeta»
• p → q: «Si camina en la lluvia, entonces Juan se enferma de gripe»
• p ∨ q: «Los hombres son mortales o yo soy el príncipe de Egipto»