Página 30 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Recuerda la definición formal de semejanza: misma forma (ángulos iguales) y lados correspondientes proporcionales. Pregúntate: ¿Importa que todos los lados de una figura midan lo mismo para que haya semejanza? Piensa en triángulos escalenos (todos los lados diferentes); dos de ellos pueden ser semejantes si cumplen la relación de lados y ángulos necesaria.

Ejemplo de proporción: si un triángulo tiene lados 3 cm, 4 cm y 5 cm, y otro 6 cm, 8 cm y 10 cm, ambos son irregulares (no equiláteros) pero semejantes porque $$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$$.

Análisis de la pregunta: Se debe razonar si la semejanza depende de que las figuras sean regulares (todos sus lados y ángulos iguales) o si basta con que cumplan la definición formal de semejanza.

Explicación completa:

• Dos figuras planas son semejantes cuando tienen la misma forma, es decir, presentan ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales.
• La regularidad (o irregularidad) no interviene en esta definición; una figura regular es aquella que tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que una irregular no cumple esa condición.
• Por lo tanto, sí pueden existir figuras irregulares semejantes. Basta con que ambas conserven proporción constante entre sus lados correspondientes y mantengan sus ángulos iguales, aunque ninguno de los lados tenga la misma longitud dentro de la misma figura.
• Ejemplo: dos trapecios isósceles que no son regulares (lados desiguales), pero cuyas respectivas longitudes mantienen la misma razón y cuyos ángulos coinciden, serán semejantes.

Conclusión: La semejanza depende únicamente de la proporcionalidad de lados y la igualdad de ángulos, no de que la figura sea regular. Por ello, figuras irregulares pueden ser semejantes entre sí.

Pista paso a paso:

• Dibuja los dos triángulos rectángulos que se forman (edificio-sombra y árbol-sombra) y marca sus lados correspondientes.
• Aplica el Teorema de Thales: los cocientes de los lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales.
• Plantea la proporción.
  $$\frac{x}{45}=\frac{280}{32}$$
• Para despejar x, multiplica en cruz o aplica regla de tres.
• No olvides usar la misma unidad de medida en todos los valores.

1. Análisis del problema: Se observa un árbol de 45 m de altura que proyecta una sombra de 32 m. El edificio proyecta una sombra de 280 m. Aplicaremos el Teorema de Thales (o semejanza de triángulos) para hallar la altura desconocida x del edificio.

2. Resolución paso a paso:

1. Los triángulos formados por el edificio y su sombra, y por el árbol y su sombra, son semejantes porque comparten el ángulo de incidencia de los rayos del sol y ambos tienen un ángulo recto con el suelo.
   $$\triangle \text{edificio–sombra} \sim \triangle \text{árbol–sombra}$$
2. Se establece la razón de semejanza entre lados correspondientes (altura : sombra).
   $$\frac{\text{Altura edificio}}{\text{Altura árbol}}=\frac{\text{Sombra edificio}}{\text{Sombra árbol}}$$
3. Sustituimos los datos:
   $$\frac{x}{45}=\frac{280}{32}$$
4. Calculamos la razón de las sombras:
   $$\frac{280}{32}=8.75$$
5. Despejamos x:
   $$x=45\times8.75$$
   $$x=393.75\;\text{m}$$

3. Conclusión: La altura aproximada del edificio es 394 m (redondeando al metro más cercano).