Página 32 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que los triángulos se construyen a partir de segmentos y arcos. Para trazar segmentos rectos se usa una regla; para copiar o trasladar longitudes se utiliza un compás. Piensa en tu estuche escolar y enumera los objetos que te ayudan a medir o dibujar con precisión.

Análisis de la pregunta: Se pide nombrar las herramientas básicas que permiten realizar la construcción geométrica de un triángulo.

Resolución paso a paso:

1. En las construcciones geométricas escolares se acostumbran a utilizar instrumentos de dibujo técnico.
2. Los más habituales son la regla o escuadra para trazar líneas rectas y medir segmentos, y el compás para trasladar longitudes y trazar arcos o circunferencias.
3. También se emplea un lápiz (para dibujar) y, si se requiere medir ángulos, un transportador.

Conclusión / Respuesta final: Los instrumentos principales son la regla (o escuadra), el compás, un lápiz y, cuando se necesita medir ángulos, el transportador.

Pensar en un albañil en obra: ¿qué instrumento lleva colgado del cinturón o en la mano para medir paredes, vigas o ladrillos? Es flexible, se enrolla y suele marcar tanto centímetros como pulgadas.

Análisis de la pregunta: Se refiere a la herramienta habitual de medición en la construcción.

Respuesta: Los albañiles emplean principalmente la cinta métrica (metro de hule, metálico o plegable) para medir longitudes en sus trabajos.

Visualiza los pasos: base – arco – arco – unir. Practica primero con longitudes sencillas para ver cómo los arcos del compás se cruzan exactamente en el punto donde se cierra el triángulo.

Análisis de la pregunta: Se pide describir el procedimiento clásico de construcción de un triángulo con regla y compás.

Procedimiento paso a paso:

1. Trazar la base: Con la regla, dibujar el segmento base con la medida dada.
2. Abrir el compás: Ajustar la apertura al valor de uno de los lados que parte de un extremo de la base.
3. Dibujar el primer arco: Con centro en el extremo correspondiente de la base, trazar un arco.
4. Repetir para el segundo lado: Abrir el compás con la medida del otro lado y, desde el otro extremo de la base, trazar un segundo arco que corte al primero.
5. : Marcar la intersección de los arcos; unir ese punto con los extremos de la base. El triángulo queda construido.

Conclusión / Respuesta final: Se construye dibujando la base, usando el compás para trasladar las longitudes de los otros dos lados y uniendo la intersección de los arcos con los extremos de la base.

Recuerda la regla práctica: «ningún lado puede ser tan largo como la suma de los otros dos». Ensaya con palitos de diferentes longitudes y comprobarás que, si no se cumple la condición, nunca logran unirse los extremos para cerrar la figura.

Análisis de la pregunta: Se trata de la condición de existencia de un triángulo.

Respuesta detallada:

Para que tres segmentos puedan formar un triángulo, deben cumplir la desigualdad triangular: la suma de las longitudes de los dos lados menores debe ser mayor que la longitud del lado mayor. Expresado en símbolos:

$$a+b > c,$$
$$a+c > b,$$
$$b+c > a,$$

donde $$a, b, c$$ son las longitudes de los lados.

Conclusión / Respuesta final: Es imprescindible que la suma de los dos lados más pequeños supere al lado más grande; de otro modo, el triángulo no puede construirse.

Aplica la regla: $$ ext{suma de los dos menores} > ext{mayor}$$. Primero identifica cuál es el lado mayor en cada trío y luego verifica la desigualdad. Si la suma es igual o menor, descártalo.

Análisis del ejercicio: Se debe aplicar la desigualdad triangular a cada trío de longitudes y seleccionar los que la cumplen.

Resolución paso a paso:

1. a) 7, 4, 6 ⇒ $$4+6=10>7$$ ✔
2. b) 7, 7, 14 ⇒ $$7+7=14=14$$ ✘ (la suma no es mayor)
3. c) 4, 3, 6 ⇒ $$3+4=7>6$$ ✔
4. d) 9, 10, 5 ⇒ $$5+9=14>10$$ ✔
5. e) 80, 79, 42 ⇒ $$42+79=121>80$$ ✔
6. f) 5.8, 5.7, 8.7 ⇒ $$5.8+5.7=11.5>8.7$$ ✔
7. g) 5, 3, 4 ⇒ $$3+4=7>5$$ ✔
8. h) 6, 15, 12 ⇒ $$6+12=18>15$$ ✔
9. i) 2.9, 8.9, 1.9 ⇒ $$1.9+2.9=4.8<8.9$$ ✘

Conclusión / Respuesta final: Se deben pintar de amarillo las opciones a, c, d, e, f, g, h. Las opciones b e i no forman triángulo.