Página 34 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda la diferencia entre semejanza y congruencia:

• Semejanza: mismos ángulos, lados proporcionales.
• Congruencia: mismos ángulos y mismos lados.

Piensa en dos triángulos con ángulos de 30°, 60° y 90°. Un triángulo podría medir 3 cm, 4 cm y 5 cm, y otro 6 cm, 8 cm y 10 cm. Ambos tienen la misma forma (son semejantes), pero no el mismo tamaño (no son congruentes).

Análisis del problema/pregunta
Se nos pide decidir si el hecho de que dos triángulos tengan los mismos ángulos es una condición suficiente para que sean congruentes y, además, justificar la respuesta.

Resolución paso a paso

1. Cuando dos triángulos tienen todos sus ángulos iguales se dice que son semejantes. Esto garantiza la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.
2. La congruencia, en cambio, exige igualdad tanto en forma como en tamaño. Para ello debemos comprobar que sus lados correspondientes también son iguales.
3. Por lo tanto:
     - Mismos ángulos → Triángulos semejantes.
     - Mismos ángulos + al menos un par de lados homólogos iguales (o que cumplan un criterio de congruencia) → Triángulos congruentes.

Conclusión/Respuesta final
No, que dos triángulos tengan los mismos ángulos no es suficiente para asegurar que sean congruentes; solo garantiza que son semejantes. Para que sean congruentes necesitamos, además, igualdad en sus lados correspondientes (por ejemplo, cumplir alguno de los criterios $$LLL$$, $$LAL$$ o $$ALA$$).

Revisa los criterios de congruencia más comunes:

• $$LLL$$: tres pares de lados homólogos iguales.
• $$LAL\;(SAS)$$: dos pares de lados y el ángulo comprendido iguales.
• $$ALA\;(ASA)$$: dos pares de ángulos y el lado comprendido iguales.

Observa los valores que el diagrama ya ofrece: ¿cuántos ángulos iguales ves? ¿Cuál es el lado que comparten? Marca en tu cuaderno cada par de elementos idénticos antes de decidir qué criterio se cumple.

Análisis del problema/pregunta
Se muestran dos triángulos con la siguiente información visible:

• Lado común (base) de 8 cm en ambos triángulos.
• Ángulo en un extremo de la base: 68,2° en ambos triángulos.
• Ángulo en el otro extremo de la base: 45° en ambos triángulos.
• Un lado adicional: 7 cm en el primer triángulo y 5 cm en el segundo (no homólogos).

Resolución paso a paso

1. Criterio LLL (Lado–Lado–Lado)
   No se conocen los tres lados de ambos triángulos ni coinciden los dos que sí se conocen (7 cm ≠ 5 cm).
   Conclusión LLL: No se puede aplicar, por lo tanto no demuestra congruencia.
2. Criterio LAL (Lado–Ángulo–Lado)
   Para usar este criterio se necesitan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en ambos triángulos. Solo se conoce la base (8 cm) y el ángulo en cada extremo, pero no se conocen ambos lados que forman dicho ángulo.
   Conclusión LAL: No es posible verificarlo con la información dada.
3. Criterio ALA (Ángulo–Lado–Ángulo)
   Se tienen dos ángulos (68,2° y 45°) y el lado comprendido entre ellos (la base de 8 cm) en ambos triángulos.
   Esto coincide exactamente con el criterio $$ALA$$, el cual establece que si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son iguales, los triángulos son congruentes.
   Conclusión ALA: Sí se cumple; demuestra que los triángulos son congruentes.

Conclusión/Respuesta final
LLL: No aplica.
LAL: No hay datos suficientes, por lo que no aplica.
ALA: Sí se cumple (dos ángulos iguales y lado incluido de igual medida); los triángulos son congruentes por el criterio ALA.